Примеры решения для практики

Пример 1. .

Решение. Используем теорему: интеграл от разности функций равен разности интегралов.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Сравним наш интеграл стабличным

У нас , формально интеграл не табличный. Используем теорему о линейной замене переменной:

если , то .

В интеграле , т.е. а = 2, следовательно

.

Проверим полученный результат дифференцированием

Интеграл взят правильно.

Пример 3. , т.е. .

Решение. Так как , то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала»

, где t = g (x)

У нас . Тогда

Пример 4. , т.е. .

Решение. Так как , то то используем теорему о «замене типа подведение под знак дифференциала», . Тогда . Домножим в числителе на 3, при этом надо и знаменатель умножить на 3.

.

Проверим дифференцированием

.

Пример 5. Найти .

Решение. Используем теорему о замене переменной

.

Особенностью данного интеграла является то обстоятельство, что его подынтегральное выражение содержит множитель который является дифференциалом функции arctg x. Поэтому в данном интеграле целесообразно ввести замену переменной: t = arctg x. Отсюда dt = d(arctg(x)) = и e^{arctg x} = e^t. Подставляя в исходный интеграл, имеем = e^{arctg x} + C.

Пример 6. Найти .

Решение. Здесь уместна замена t = cos x, т.к. dt = - sin x dx, и sin³x dx = sin²x sinx dx. Поэтому

Пример 7. Найти .

Решение. Используем метод интегрирования по частям

Так как производная от х равна 1, то возьмем u = x. Используем формулу, приведя схему записи удобную при использовании метода интегрирования по частям.

= - x cosx + = - x cosx + sinx + C.

Пример 8. Найти .

Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет два различных действительных корня, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать

Следовательно

Пример 9. Найти .

Используем метод разложения на простейшие. Знаменатель имеет действительные корни, причем корень -1 имеет кратность два. Разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители и учтем, что коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать

Следовательно

Пример 10. Найти .

Решение. Используем метод разложения на простейшие, разложим подинтегральную функцию на простейшие слагаемые

Приравняем числители

Так как коэффициенты при одинаковых степенях х, стоящие слева и справа должны совпадать, то .

.

Следовательно

Здесь использовано

Пример 11. Найти .

Сделаем замену переменной, позволяющую избавится от иррациональности

Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы

Под интегралом стоит неправильная дробь, поэтому разделим числитель на знаменатель и вычислим получившиеся интегралы

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Построим в системе координат эти линии. Найдем точки пересечения этих линий

Обозначим эти точки через A и В. Итак, А(1; 5), В(5; 1). Искомая площадь S равна разности площадей фигур, ограниченных линиями , , , (обозначим эту площадь через S₁) и линиями , , , (эту площадь обозначим через S₂). Таким образом

S = S₁ – S₂

Рис.1.

Площадь S₂ может быть вычислена с применением определенного интеграла

ед ².

Площадь S₁ можно, конечно, вычислить как сумму площадей прямоугольного треугольника и прямоугольника, но удобнее все-таки вычислить S₁ как интеграл

.

Теперь можно вычислить и искомую площадь

S = S₁ – S₂ = 12 – 5 ln5

Ответ: S =12 – 5 ln5 ед ².

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси О фигуры, ограниченной прямой и параболой .

Найдем точки пересечения линий. Для этого решим уравнение . Получим .

Рис. 2.

Объем тела может быть вычислен по формуле , где

, .

.

Ответ: .