Глава 1. Функции двух переменных. Основные определения. Приращения функции

Пусть на плоскости ХY задана область D. Каждой точке М этой области соответсвует упорядоченная пара чисел (х, у) - ее координаты.

Если каждой упорядоченной паре чисел (х, у) поставлено в соответствие по закону f число z, то говорят, что задана функция двух переменных

z = f (x, у) (1.1)

Область D называется областью определения функции. Множество Z ={z} образует область значений функции. График функции f (x, y) - поверхность в пространстве (рис 1), эту поверхность часто обозначают σ. Проекция поверхности σ на плоскость XOY и есть область D.

Рис.1. Функция двух переменных.

Функция двух переменных может быть также задана в виде таблиц.

Аналогично задается функция трех и более переменных. Физически, например, функцию трех переменных u = f (x, y, z,) можно интерпретировать как плотность вещества в объемной области D.

Следует заметить, что функции двух переменных являются самым простым и наглядным случаем среди всех функций многих переменных и поэтому обычно подробно рассматриваются. Полученные при этом свойства остаются верными и для функций произвольного числа переменных.

Если на оси Z нанести масштаб, и провести через точки деления плоскости, перпендикулярные оси Z, то поверхность σ разделится на части. На каждой линии сечения поверхности σ плоскостью функция z = f (x, у) будет постоянной величиной. Линии сечения проектируют на плоскость ХY и называют линиями уровня (рис. 2).

Рис. 2. Линии уровня.

Функция z = f (x, у) называется непрерывной в точке М₀(x ₀, y ₀), если имеет место равенство

и точка М(x, y) стремится к М₀(x ₀, y ₀) оставаясь все время в области определения функции. Функция непрерывная в каждой точке области называется непрерывной во всей области.

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она достигает там своего наименьшего m и наибольшего M значений.

Приращения функции двух переменных. Выберем в области определения функции точку М₀ с координатами x ₀ и y ₀ т.е. М₀(x ₀, y ₀) и точку М₁ с координатами x ₁ и y ₁ М₁(x ₁, y ₁) (рис.3). вычислим в этих точках значения функции z ₀ = f(x ₀, у ₀) и z ₁ = f(x ₁, у ₁).

Рис. 3. Приращения функции двух переменных.

Полным приращением функции двух переменных Δz называется разность ее значений в точках М₁и М₀

. (1.2)

Сделаем дополнительное построение. Построим точку М₂(x ₁, y ₀) и М₃(x ₀, y ₁). Частным приращением по аргументу х Δ_хz называется разность значений функции в точках М₂и М₀