2015-03-08
1015
2.3.1. Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы.
2.3.2. Упражнение. Исследовать систему на совместность и в случае совместности решить её методом Гаусса:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Решение. а) Найдём ранги обеих матриц (основной и расширенной) методом окаймления миноров, предварительно выписав основную и расширенную матрицы системы:
A = 
и 
= 
Найдём ранг основной матрицы:
M 1=2¹0, M 2= 
=0, 
= 
= -16¹0, M 3= 
=0, 
= 
=0. Таким образом, rg A =2.
Для нахождения ранга расширенной матрицы достаточно окаймить ненулевой минор максимального порядка матрицы A 3-й строкой и столбцом свободных членов, так как все миноры матрицы A являются также минорами матрицы : 
= 
=0. Следовательно, rg = rg A =2 и система совместна.
Решаем систему эквивалентными преобразованиями расширенной матрицы:
® 
® 
® Ä
(в частности получаем ещё раз, что ранг расширенной матрицы равен 2)
® 
®
® 
® 
.
Таким образом, x 1= 
+ 
a - 
b, x 2= a, x 3=- 
b, x 4= b.
б) M 1=3¹0, M 2= 
=23¹0, M 3= 
=0, = 
=0. Таким образом, rg A =2. Далее, = 
= -33¹0, то есть rg =3. Так как rg A ¹ rg , то система несовместна.
Ответ: а) ( + a - b; a; - b; b), где a, b Î R;
б) Система несовместна.
