Сложение матриц и его свойства

2.1.1. Определение. Суммой матриц A =(a_ij) _{m ´ n} и B =(b_ij) _{m ´ n} называется матрица (a_ij + b_ij) _{m ´ n}.

Сумма матриц A и B обозначается через A + B.

Таким образом, по определению (a_ij) _{m ´ n} +(b_ij) _{m ´ n} =(a_ij + b_ij) _{m ´ n}, можно складывать только матрицы одинаковой размерности и при сложении матриц складываются соответствующие элементы матриц. Например,

+ =

2.1.2. Теорема. Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

1^о. A + B = B + A.

2^о. (A + B)+ C = A +(B + C).

3^о. A_{m ´ n} + O _{m ´ n} = A_{m ´ n}.

4^о. Для любой матрицы A_{m ´ n} существует матрица B_{m ´ n} такая, что A + B = O _{m ´ n}.

Матрица B называется противоположной к A и обозначается через - A. Очевидно, - A =(- a_ij) _{m ´ n}.

2.1.3. Свойство 2^о имеет обобщение: результат суммирования нескольких матриц

(…((A ₁+ A ₂)+ A ₃)+…+ A_{k -1})+ A_k (2.1)

не зависит от расстановки скобок, то есть

(…((A ₁+ A ₂)+ A ₃)+…+ A_{k -1})+ A_k =((A ₁+ A ₂)+(A ₃+ A ₄))+…+ A_k