Произведение матриц и его свойства

2.3.1. Определение. Произведением строки A =(а ₁, а ₂, … а_n) на столбец B =(b ₁, b ₂, … b_n)^T называется число a ₁ b ₁+ a ₂ b ₂+…+ a_nb_n.

Это произведение обозначается через AB.

Например, если A =(1, 2, 4), B =(-1, 2, 3)^Т, то

AB =(1, 2, 4) =1×(-1)+2×2+4×3=15.

Таким образом, по определению

(а ₁, а ₂, … а_n) = a ₁ b ₁+ a ₂ b ₂+…+ a_nb_n,

то есть для того, чтобы строку умножить на столбец, необходимо, чтобы число элементов строки равнялось числу элементов столбца.

2.3.2. Определение. Произведением матрицы A =(a_ij) _{m ´ n} на матрицу B =(b_ij) _{n ´ k} называется матрица C =(c_ij) _{m ´ k}, такая, что

c_ij = a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +…+ a_inb_nj.

Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.

Таким образом, AB =(a_{i 1} b _{1 j} + a_{i 2} b _{2 j} +…+ a_inb_nj) _{m ´ n}, то есть элемент c_ij произведения A на B получается как произведение i - й строки (то есть строки под номером i) матрицы A на j - й столбец (то есть столбца под номером j) матрицы B. В частности, для того, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы число элементов в строке матрицы A совпадало с числом элементов в столбцах матрицы B, что означает, что число столбцов первого сомножителя должно совпадать с числом строк второго. В противном случае произведение матриц не существует. При этом число строк произведения AB равно числу строк первой матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы B. Так, произведение матрицы A =(a_ij)_2´2 на матрицу B =(b_ij)_2´2 является матрицей C =(c_ij)_2´2 размерности 2´2:

= ;

а произведение матрицы A =(a_ij)_2´2 на матрицу B =(b_ij)_2´3 является матрицей C =(c_ij)_2´3:

= .

Произведение B =(b_ij)_2´3 на A =(a_ij)_2´2 не существует, так как число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A. Например, если A = , B = , C = , то

AB = = = ,

BA = = = ,

AC = = = ,

CA не определено (то есть не существует).

В частности, мы видим, что, вообще говоря, AB ≠ BA, то есть привычное для чисел правило «от перестановки мест сомножителей призведение не меняется» для матриц не работает.

2.3.3. Теорема. Операция произведения матриц обладает следующими свойствами:

1^о. Вообще говоря, AB ≠ BA.

2^о. Если произведения AB и BC определены, то определены также произведения (AB) C, A (BC) и при этом выполняется равенство

(AB) C = A (BC).

3^о. A_{m ´ n}Е_n = Е_mA_{m ´ n} = A_{m ´ n}. В частности, если A - квадратная матрица порядка n, то AЕ = ЕA = A, где E - единичная матрица порядка n.

4^о. Если AB определено, то для любого числа a произведения (aA) B, A (aB) также определены и имеют место равенства

a (AB)=(aA) B = A (aB).

5^о. Если определено произведение A (B + C), то определены также произведения AB, AC и сумма AB + AC, и справедливо равенство

A (B + C)= AB + AC.

6^о. Если определено произведение (A + B) C, то определены также произведения AC, BC и сумма AC + BC, и справедливо равенство

(A + B) C = AC + BC.

7^о. Если определено произведение AB, то определено также произведение B ^T A ^T и справедливо равенство

(AB)^T= B ^T A ^T.

2.3.4. Перечисленные свойства естественным образом обобщаются. Например, как и в случае суммы, свойство 2^о обобщается следующим образом:

2 ¢ ^о. Если произведения A ₁ A ₂, A ₂ A ₃, …, A_{k -1} A_k, определены, то определено также произведение

(…((A ₁ A ₂) A ₃)… A_{k -1}) A_k (2.2)

и результат произведения не зависит от расстановки скобок.

В силу этого в произведениях типа (2.2) скобки принято опускать:

A ₁ A ₂… A_k (2.3)

Вообще, в произведении (2.3) определено произведение любого количества l друг за другом идущих матриц: A_iA_{i +1}… A_{i + l -1}. В силу свойства 1^о результат произведения зависит от порядка следования сомножителей. Более того, при перестановке сомножителей произведение может быть вообще не определённым (то есть не существовать).

4 ¢ ^о. Если определено произведение A ₁ A ₂… A_k, то определены также произведения (aA ₁) A ₂… A_k, A ₁(aA ₂)… A_k, A ₁ A ₂…(aA_k), и имеют место равенства

(aA ₁) A ₂… A_k = A ₁(aA ₂)… A_k =…= A ₁ A ₂…(aA_k).

5 ¢ ^о, 6 ¢ ^о. Если определены произведения A (B ₁± B ₂±…± B_k) и (A ₁± A ₂±…± A_k) B, то определены соответственно произведения AB ₁, AB ₂, …, AB_k и A ₁ B, A ₂ B, …, A_kB и имеют место равенства

A (B ₁± B ₂±…± B_k)= AB ₁± AB ₂±…± AB_k,

(A ₁± A ₂±…± A_k) B = A ₁ B ± A ₂ B ±…± A_kB.

Здесь сочетания знаков «+» и «-» произвольные.

7 ¢ ^о. Если произведение A ₁ A ₂… A_{k -1} A_k определено, то определено также произведение и при этом имеет место равенство

(A ₁ A ₂… A_{k -1} A_k)^Т= .

2.3.5. Определение. Если A - квадратная матрица, то произведение называется k - й степенью матрицы A и обозначается через A^k:

A^k = .