Общее понятие определителя

1.3.1. Определение. Выберем в квадратной матрице второго порядка какую-нибудь строку, в общем случае i -ю, и какой-нибудь столбец, в общем случае j -й, и исключим их из матрицы. Оставшийся элемент назовём минором элементаa_ij и обозначим его через M_ij. Число A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij называется алгебраическим дополнением элемента a_ij матрицы A.

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= a ₂₂, A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂=- a ₂₁,

A ₂₁=(-1)²⁺¹ M ₂₁=- a ₁₂, A ₂₂=(-1)²⁺² M ₂₂= a ₁₁,

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂= a ₂₁ A ₂₁+ a ₂₂ A ₂₂= a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁= a ₁₂ A ₁₂+ a ₂₂ A ₂₂.

Аналогичное проделаем с квадратной матрицей третьего порядка. Именно, исключив i -ю строку и j -й столбец, получим матрицу второго порядка, определитель которой называется минором элементаa_ij и обозначается через M_ij, A_ij =(-1) ^{i + j}M_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij. Заметим, что

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₂₁ A ₂₁+ a ₃₁ A ₃₁,

и, вообще,

det A = a _{1 i} A _{1 i} + a _{2 i} A _{2 i} + a _{3 i} A _{3 i} ,

а также

det A = a_{i 1} A_{i 1}+ a_{i 2} A_{i 2}+ a_{i 3} A_{i 3}

для любого i =1, 2, 3.

Пусть теперь дана матрица четвёртого порядка

A = .

Проделав ту же процедуру, что и с матрицами 2-го и 3-го порядков, введём для элементов a_ij этой матрицы миноры M_ij и алгебраические дополнения A_ij.

Определителем матрицы 4-го порядка называется число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄.

Например, вычислим следующий определитель, исходя из определения:

Имеем

A ₁₁=(-1)¹⁺¹ M ₁₁= =

=1×1×1+1×3×1+2×1×(-1)-2×1×1-1×1×1-1×3×(-1)=1+3-2-2-1+3=2,

A ₁₂=(-1)¹⁺² M ₁₂= =

=-(-1×1×4+1×3×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×3×(-1))=-(-4+3-1-1-4-3)=10,

A ₁₃=(-1)¹⁺³ M ₁₃= =

=-1×1×4+1×2×1+1×1×(-1)-1×1×1-1×1×4-(-1)×2×(-1)=-4+2-1-1-4-2=-10,

A ₁₄=(-1)¹⁺⁴ M ₁₄= =

=-(-1×1×3+1×2×1+1×1×1-1×1×1-1×1×3-(-1)×2×1)=-(-3+2-1-1-3+2)=2.

Теперь по определению

= a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄=4×2+3×10+2×(-10)+1×2=20,

то есть

=20.

Теперь, зная, что такое определитель 4-го порядка, аналогично введём определитель 5-го порядка, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+ a ₁₃ A ₁₃+ a ₁₄ A ₁₄+ a ₁₅ A ₁₅.

В общем случае определитель n -го порядка вводится в предположении, что определители всех порядков до n -1-го включительно введены, как число

det A = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂+…+ a _{1 n} A _{1 n} .

Как и в случае определителей 2-го и 3-го порядков, определитель n -го порядка обозначается в виде таблицы, взятой в прямые скобки:

.

1.4. Упражнение. Вычислить определители по определению:

а) ; б) .