Определители 2-го и 3-го порядков

1.1.1. Определение. Пусть дана квадратная матрица A второго порядка . Определителем матрицы A называется число a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂.

Определитель матрицы обозначается через , то есть, обозначение определителя матрицы второго порядка аналогично обозначению самой матрицы, только таблица заключается не в круглые скобки, а в прямые.

Таким образом, = a ₁₁ a ₂₂- a ₂₁ a ₁₂. Например, =1×8-4×(-1)= =8+4=12.

1.1.2. Определение. Пусть дана матрица третьего порядка

.

Определителем этой матрицы называется число

a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃,

и оно обозначается, аналогично определителю матрицы второго порядка, через

.

Таким образом,

= a ₁₁ a ₂₂ a ₃₃+ a ₂₁ a ₃₂ a ₁₃+ a ₃₁ a ₁₂ a ₂₃- a ₃₁ a ₂₂ a ₁₃- a ₂₁ a ₁₂ a ₃₃- a ₁₁ a ₃₂ a ₂₃.

Если формула для определителя матрицы второго порядка запоминается просто, то для определителя матрицы третьего порядка формула несколько сложнее. Тем не менее, следующее правило Саррюса относительно просто позволяет запомнить эту формулу.

Составляем произведения элементов главной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, как показано на диаграмме 1. Эти произведения берутся со знаком «+»

Составляем произведение элементов побочной диагонали и элементов, стоящих на вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали, как показано на диаграмме 2. Эти произведения берутся со знаком «-».

Например,

=3×1×6+2×(-2)×0+5×(-1)×4-5×1×0-2×(-1)×6-3×(-2)×4=18-20+12+24=34.

Всюду в дальнейшем под определителями 2-го и 3-го порядков будут подразумеваться определители матриц соответствующих порядков.

1.2. Упражнение. Вычислить определители 2-го и 3-го порядков:

а) ; б) ; в) ; г) .