Разностные уравнения

Если неизвестная функция и заданная функция являются функциями одного целочисленного аргумента , то уравнение вида , , где - постоянные коэффициенты, называется линейным разностным уравнением ( ЛРУ ) го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение называется однородным.

Функция , , обращающая разностное уравнение в тождество, называется его решением.

Условия , ,…, , где , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением РУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, . Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .

Общее решение однородного ЛРУ -го порядка ищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения , в виде , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядка называется любая система из линейно независимых частных решений , ,…, этого уравнения.

Фундаментальная система решений строится на основе характера корней характеристического уравнения . А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение разностного уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , ,…, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , , где , .

Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного разностного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число , для которого и , не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

В задачах 9.281-9.288 найти общие решения следующих однородных разностных уравнений:

9.281 .

9.282 .

9.283 .

9.284 .

9.285 .

9.286 .

9.287 .

9.288 .

В задачах 9.289-9.292 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.289 .

9.290 .

9.291 ,

9.292 .

В задачах 9.293-9.308 найти общие решения следующих неоднородных разностных уравнений

9.293 .

9.294 .

9.295 .

9.296 .

9.297 .

9.298 .

9.299 .

9.300 .

9.301 .

9.302 .

9.303 .

9.304 .

9.305 .

9.306 .

9.307 .

9.308 .

В задачах 9.309-9.312 найти частные решения разностных уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.309

9.310 .

9.311 .

9.312 .

По аналогии с нормальными системами дифференциальных уравнений рассматриваются также и нормальные системы разностных уравнений вида , где - искомые функции, - заданные функции целочисленного аргумента , . Число называется порядком системы. Совокупность функций , ,…, обращающих каждое уравнение системы в тождество, называется решением этой системы.

Условия , ,…, , где , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями.

Общим решением системы РУ -го порядка называется решение:

, ,…, ,

зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, .

Частным решением системы называется решение , ,…, , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных .

Нормальные системы разностных уравнений аналогично системам дифференциальных уравнений можно решать методом исключения неизвестных функций приводя их к одному разностному уравнению -го порядка. Для нахождения решения, например, системы двух разностных уравнений , где , - неизвестные функции целочисленного аргумента поступают следующим образом. Сначала, используя первое из уравнений системы, получим уравнение , в которое затем подставим второе уравнение системы , с учётом выражения , найденного из первого уравнения системы. В результате получим разностное уравнение 2-го порядка относительно неизвестной функции , решив которое найдём функцию , где , - произвольные постоянные. Подставив в формулу , определим функцию . Совокупность функций , даёт общее решение системы.