Область определения. Предел функции. Непрерывность

Всякий упорядоченный набор из действительных чисел называется точкой -мерного арифметического (координатного) пространства и обозначается или , при этом числа называются её координатами.

Пространство называется евклидовым, если расстояние между любыми двумя его точками и определяется формулой .

Пусть и - некоторые множества точек и . Если каждой точке ставится в соответствие по некоторому правилу одно вполне определённое действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от переменных и пишут или кратко и , при этом называется областью определения, - множеством значений, - аргументами (независимыми переменными) функции.

Функцию двух переменных часто обозначают , функцию трёх переменных - . Область определения функции представляет собой некоторое множество точек плоскости, функции - некоторое множество точек пространства.

Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество точек , для координат которых формула имеет смысл.

Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество точек пространства с координатами , , представляющее собой, вообще говоря, некоторую поверхность в . Линией уровня функции называется линия на плоскости , в точках которой функция принимает одно и тоже значение .