Высших порядков

Уравнение вида , где - искомая функция, называется дифференциальным уравнением -го порядка. Функция , обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения, а график этой функции – интегральной кривой. Если решение уравнения задано в неявном виде , то оно называется интегралом уравнения.

Уравнение вида , называется уравнением, разрешённым относительно старшей производной. Эту форму записи ДУ -го порядка называют нормальной.

Условия , ,…, , где , , ,…, - заданные числа, называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Общим решением ДУ -го порядка называется решение , зависящее от произвольных постоянных , такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянных можно получить решение , удовлетворяющее заданным начальным условиям , ,…, . Общее решение, заданное в неявном виде , называется общим интегралом уравнения.

Частным решением ДУ -го порядка называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных . Частное решение, заданное в неявном виде , называется частным интегралом уравнения.

Если для искомого частного решения уравнения заданы начальные условия , ,…, и известно общее решение уравнения, то значения произвольных постоянных определяются, если это возможно, из системы уравнений .

Уравнение вида называется простейшим дифференциальным уравнением -го порядка. Его общее решение находят, выполняя последовательно интегрирований, и записывают в виде

Уравнение вида , , не содержащее явно искомой функции , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция, приводится к уравнению порядка .

Уравнение вида , не содержащее явно независимой переменной , с помощью подстановки , где - новая неизвестная функция от новой независимой переменной , приводится к уравнению порядка на единицу ниже. При этом преобразуются так: , ,…..

В задачах 9.131-9.150 найти общие решения дифференциальных уравнений,допускающих понижение порядка:

9.131 . 9.132 . 9.133 .

9.134 . 9.135 . 9.136 .

9.137 . 9.138 .

9.139 . 9.140 .

9.141 . 9.142 .

9.143 . 9.144 .

9.145 . 9.146 .

9.147 . 9.148 .

9.149 . 9.150 .

В задачах 9.151-9.160 найти частные решения следующих уравнений при указанных начальных условиях:

9.151 , , .

9.152 , , , .

9.153 , , .

9.154 , , .

9.155 , , .

9.156 , , .

9.157 , , .

9.158 , , .

9.159 , , .

9.160 , , .

Функции , ,…, называются линейно зависимыми на , если существуют постоянные , ,…, , не все равные нулю, такие, что для всех . Если равенство выполняется для всех только при условии , то данные функции называются линейно независимыми на .

Определитель называется определителем Вронского (вронскианом).

Если функции , ,…, линейно зависимы на , то определитель Вронского для всех (необходимое условие линейной зависимости).

Если хотя бы в одной точке , то функции , ,…, линейно независимы на (достаточное условие линейной независимости).

В задачах 9.161-9.170 исследовать, являются ли данные функции линейно независимыми (в каждой задаче функции рассматриваются в той области, в которой они все определены).

9.161 , . 9.162 , .

9.163 , . 9.164 , , .

9.165 . 9.166 , , . 9.167 , , . 9.168 , , . 9.169 . 9.170 .

Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением ( ЛДУ ) -го порядка, где коэффициенты - непрерывные функции или постоянные. Если , то уравнение называется однородным. Однородное линейным уравнение -го порядка имеет вид .

Любая система из линейно независимых частных решений , ,…, однородного линейного уравнения называется фундаментальной системой его решений.

Общее решение однородного линейного уравнения имеет вид , где - фундаментальная система его решений; - произвольные постоянные.

Фундаментальная система решений однородного ЛДУ с постоянными коэффициентами строится на основе характера корней характеристического уравнения .

А именно: 1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решение дифференциального уравнения; 2) если - действительный корень кратности , то ему в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , ,…, ; 3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения: , ; 4) если - пара комплексно-сопряжённых корней кратности , то ей в ФСР соответствует линейно независимых частных решений: , , , , , , .

В задачах 9.171-9.184 найти общие решения однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

9.171 . 9.172 .

9.173 . 9.174 .

9.175 . 9.176 .

9.177 . 9.178 .

9.179 . 9.180 .

9.181 . 9.182 . 9.183 . 9.184 .

В задачах 9.185-9.188 найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:

9.185 , , .

9.186 , , .

9.187 , , .

9.188 , , .

Общее решение неоднородного ЛДУ имеет вид , где - общее решение соответствующего однородного уравнения, - какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.

Частное решение уравнения с правой частью специального вида ищется методом неопределённых коэффициентов в виде , где , если число не является корнем характеристического уравнения, и равно кратности корня в противном случае; и - полные многочлены степени с неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степени соответственно являются: , , , ,…. Для нахождения коэффициентов многочленов и , надо подставить решение в неоднородное дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.

Частное решение неоднородного ЛДУ с правой частью равно сумме частных решений неоднородных уравнений с той же левой частью и правыми частями (принцип наложения решений).

Частное решение уравнения с любой правой частью может быть найдено методом вариации произвольных постоянных. Для дифференциального уравнения второго порядка метод состоит в следующем. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения , то частное решение соответствующего неоднородного уравнения ищется в виде , где неизвестные функции , определяются из системы уравнений .

В задачах 9.189-9.202 для каждого из неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами написать общие решения уравнений (числовых значений коэффициентов в частных решениях не находить):