Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальным уравнением в частных производных называется равенство, содержащее неизвестную функцию от нескольких независимых переменных, сами независимые переменные и частные производные неизвестной функции по независимым переменным. Порядок старшей частной производной называется порядком уравнения. Функция, обращающая уравнение в тождество, называется решением уравнения. Процесс нахождения решения называется интегрированием. Интегрируя уравнение с частными производными, находят семейство решений, зависящее от произвольных функций, а не только от произвольных постоянных, как это имеет место в случае обыкновенного дифференциального уравнения. Это семейство решений, зависящее от произвольных функций, называется общим решением уравнения с частными производными.

Уравнение вида

где - неизвестная функция от независимых переменных ; , - заданные функции своих аргументов, называется квазилинейным уравнением в частных производных первого порядка. Задачей Коши для этого уравнения называется задача о нахождении среди всех решений этого уравнения такого решения , которое удовлетворяло бы начальному условию , где - заданная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов; - заданное число.

В случае уравнения задача Коши состоит в нахождении решения , удовлетворяющего начальному условию или условию .

Интегрирование уравнения сводится к интегрированию соответствующей ему системы обыкновенных дифференциальных уравнений в симметрической форме:

Если и - независимые интегралы этой системы, то равенство , где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция, является общим решением уравнения в частных производных в неявной форме. Разрешив его относительно , если входит только в один из интегралов или , получим общее решение в явной форме , где - произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Для нахождения частного решения, подставив начальное условие в интегралы и , получим два уравнения вида , . Исключив из них , получим равенство, связывающее и . Подставив в которое вместо и левые части интегралов и , получим искомое частное решение. Аналогично находится частное решение для начального условия .

В задачах 9.321-9.322 найти общие решения простейших дифференциальных уравнений в частных производных.

9.321 а) , где ; б) .

9.322 а) , где ; б) .

В задачах 9.323-9.328 найти общие решения уравнений в частных производных первого порядка.

9.323 . 9.324 .

9.325 . 9.326 .

9.327 . 9.328 .

В задачах 9.329-9.330 найти частные решения уравнений в частных производных первого порядка, удовлетворяющие указанным условиям.

9.329 ; при .

9.330 ; при .

Уравнение вида

=0,

где -неизвестная функция от независимых переменных ; , , , - заданные в области функции своих аргументов, называется квазилинейным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка. Его тип определяется знаком выражения . А именно: 1) если в некоторой точке , то уравнение имеет эллиптический тип в этой точке; 2) если , то уравнение имеет гиперболический тип; 3) если , то уравнение имеет параболический тип. Данное уравнение может менять свой тип при переходе из одной точки области в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках плоскости , , параболического типа в точках и гиперболического типа в точках , .

Уравнение называется характеристическим, а его общие интегралы и - характеристиками уравнения в частных производных.

Характеристики используются для приведения квазилинейного уравнения в частных производных второго порядка к каноническому виду.

Для уравнения гиперболического типа () характеристики действительны и различны. Подстановкой и , уравнение приводится к каноническому виду

Для уравнения эллиптического типа () характеристики комплексные и комплексно сопряжены (). Подстановкой и , уравнение приводится к каноническому виду .

Для уравнения параболического типа () имеется только одна характеристика . Подстановкой и , где - произвольная функция, независимая с уравнение приводится к каноническому виду .

В задачах 9.331-9.339 определить тип дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и привести их к каноническому виду.

9.331 .

9.332 .

9.333 .

9.334 .

9.335 .

9.336 .

9.337 .

9.338 .

9.339 .

В задачах 9.340-9.345, используя формулу Даламбера

, найти

решение задачи Коши для волнового уравнения на прямой:

; ;

9.340 , , .

9.341 , , .

9.342 , , .

9.343 , , .

9.344 , , .

9.345 , , .

Задачей Штурма-Лиувилля называется задача о нахождении отличных от нуля решений (собственных функций) , , дифференциального уравнения , удовлетворяющих граничным условиям вида , , где - заданные числа, а также о нахождении значений параметра (собственных значений), при которых существуют такие решения.

В задачах 9.346-9.348 найти собственные числа и собственные функции следующих задач Штурма-Лиувилля.

9.346 , .

9.347 , .

9.348 , .

Метод Фурье является одним из наиболее распространённых аналитических методов решения уравнений математической физики и состоит в следующем. Искомая функция , зависящая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Например, если , то функция ищется в виде ; если , то - в виде . После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами Штурма-Лиувилля. Искомое решение представляется рядом по произведениям собственных функций этих задач Штурма-Лиувилля.