Интегралы с бесконечными пределами

Если функция интегрируема на отрезке , то несобственным интегралом первого рода от функции на промежутке называется и обозначается , т.е. . Аналогично: .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Несобственный интеграл определяется равенством:

, где - произвольное число, причём интеграл в левой части равенства сходится, если сходятся оба интеграла в правой части.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при . Тогда, если сходится, то сходится и , если расходится, то расходится и .

2. Если и , т.е. ~ при , то: 1) при сходится; 2) при расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости интеграла .

В задачах 7.205-7.213 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.205 . 7.206 . 7.207 .

7.208 . 7.209 . 7.210 .

7.211 . 7.212 . 7.213 .

В задачах 7.214-7.219, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.214 . 7.215 . 7.216 .

7.217 7.218 7.219 .