Основные методы вычисления неопределённого интеграла

1 2 3 4 5 6

В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:

7.1 а) ; б) ; в) .

7.2 а) ; б) ; в) .

7.3 а) ; б) ; в) .

7.4 а) ; б) ; в) .

7.5 а) ; б) ; в) .

7.6 а) ; б) ; в) .

7.7 а) ; б) ; в) .

7.8 а) ; б) ; в) .

7.9 а) ; б) ; в) .

7.10 а) ; б) ;в) .

7.11 а) ; б) ; в) .

Часто, заменой переменной интегрирования , удаётся свести нахождение интеграла к нахождению более простого интеграла с последующей заменой .

Существуют два варианта замены переменной интегрирования:

1) Метод подведения функции под знак дифференциала.

Если подынтегральное выражение может быть записано в виде

, где - дифференцируемая функция, то осуществляется замена . Тогда

При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:

; ;

, .

2) Метод подстановки.

Если функция дифференцируема и имеет обратную на соответствующем промежутке, то справедливо равенство

Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.

В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы

7.12 а) ; б) ; в) .

7.13 а) ; б) ; в) .

7.14 а) ; б) ; в) .

7.15 а) ; б) ; в) .

7.16 а) ; б) ; в) .

7.17 а) ; б) ; в) .

7.18а) ; б) ; в) .

7.19 а) ; б) ; в) .

7.20 а) ; б) ; в) .

7.21 а) ; б) ; в) .

В задачах 7.22-7.30 сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:

7.22 . 7.23 . 7.24 .

7.25 . 7.26 . 7.27 .

7.28 . 7.29 . 7.30 .

В задачах 7.31-7.45 применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:

7.31 а) ; б) ; в) .

7.32 а) ; б) ; в) .

7.33 а) ; б) .

7.34 а) ; б) ; в) .

7.35 а) ; б) .

7.36 . 7.37 . 7.38 .

7.39 . 7.40 . 7.41 .

7.42 . 7.43 . 7.44 .

7.45 . 7.46 . 7.47 .

7.48 . 7.49 . 7.50 .

Если и - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

или кратко .

Эта формула используется в тех случаях для вычисления , когда подынтегральное выражение можно так представить в виде , что интеграл может оказаться проще интеграла .

Этим методом вычисляются: 1) интегралы вида ,

, , , причём в качестве выбирается ; 2) интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из следующих функций: , , , , , , причём в качестве выбирается одна из указанных выше функций; 3) интегралы вида , , , , посредством двукратного интегрирования по частям.