Функций

Вычисление интегралов вида и , выделяя в квадратном трёхчлене полный квадрат и делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению табличных интегралов (см. приложение 4) и интегралов вида и , которые сводят к табличным заменой переменной .

Вычисление интегралов вида , делая замену переменной интегрирования , сводят к вычислению интегралов, рассмотренных выше.

В задачах 7.70-7.80 найти следующие интегралы от функций, содержащих квадратный трёхчлен:

7.70 . 7.71 . 7.72 .

7.73 . 7.74 . 7.75 .

7.76 . 7.77 . 7.78 .

7.79 . 7.80 .

Рациональной дробью называется рациональная функция вида . Если , то дробь не правильная, в противном случае – правильная. Всякую неправильную дробь всегда можно представить в виде , где , -многочлены от , причём . Выделение целой части (многочлена ) в неправильной дроби производят делением числителя на знаменатель, выполняемое «уголком». Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование правильной рациональной дроби основано на её представлении в виде конечной суммы простейших дробей вида , , , , причём трёхчлен не имеет действительных корней. Вид этого разложения определяется разложением знаменателя дроби на линейные и квадратичные множители (не имеющие действительных корней).

Каждому линейному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида . Каждому квадратичному множителю вида , где , в разложении соответствует сумма из простейших дробей вида .

Неизвестные постоянные , , в разложении правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей определяют методом неопределённых коэффициентов. Для этого правую часть искомого разложения приводят к общему знаменателю (им будет многочлен ), после чего у получившегося в числителе многочлена с неизвестными постоянными и у многочлена приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях . В результате получают систему линейных уравнений, решая которую находят неизвестные постоянные. Можно также определять , , , подставляя в равенство, полученное приравниванием числителя к числителю дроби с неизвестными постоянными, полученной после приведения простейших дробей к общему знаменателю , вместо некоторые специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя ) (метод частных значений). Часто, при нахождении неизвестных постоянных, комбинируют оба способа.

Интегрирование простейшей дроби , выделением полного квадрата и заменой , сводят к вычислению интеграла вида . Для вычисления такого интеграла используют подстановку .

В задачах 7.81-7.90 найти следующие интегралы от рациональных функций:

7.81 а) ; б) ; в) .

7.82 а) ; б) ; в) .

7.83 а) ; б) ; в) .

7.84 а) ; б) ; в) .

7.85 а) ; б) ; в) .

7.86 а) ; б) ; в) .

7.87 а) ; б) ; в) .

7.88 а) ; б) ; в) .

7.89 ; 7.90 .

Интегралы вида , где -рациональная функция относительно аргументов и , приводятся к интегралам вида , где -рациональная функция относительно аргумента , с помощью универсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы: , , .

Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:

1) , если , при этом: , ;

2) , если , при этом: , ;

3) , если или , при этом: , , ;

4) , если , при этом . Здесь - рациональная функция относительно аргументов , .

Интегралы вида , где , - целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул: , .

Интегралы вида , , вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:

;

В задачах 7.91-7.118 найти следующие интегралы от тригонометрических функций:

7.91 . 7.92 . 7.93 .

7.94 . 7.95 . 7.96 .

7.97 . 7.98 . 7.99 .

7.100 . 7.101 . 7.102 .

7.103 . 7.104 .

7.105 . 7.106 . 7.107 .

7.108 . 7.109 . 7.110 .

7.111 . 7.112 . 7.113 .

7.114 . 7.115 . 7.116 .

7.117 . 7.118 .

Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:

; ; ; .

В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:

7.119 . 7.120 . 7.121 . 7.122 . 7.123 . 7.124 .

7.125 . 7.126 . 7.127 .

7.128 . 7.129 . 7.130 .

Интегралы вида , где -рациональная функция своих аргументов, -целые числа, вычисляются с помощью подстановки , где - наименьший общий знаменатель дробей .

Вычисление интегралов вида , где -рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчлене и заменой , сводится к вычислению интегралов вида: