Интегралы от неограниченных функций

Если функция интегрируема при и , то несобственным интегралом второго рода от функции на отрезке называется и обозначается , т.е. . Аналогично, в случае и : .

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Признаки сходимости и расходимости.

1. Пусть при , , . Тогда, если сходится, то сходится и , если расходится, то расходится и .

2. Если и , т.е. ~ при , то: 1) при сходится; 2) при расходится.

Аналогично устанавливаются признаки сходимости и расходимости при , , .

В задачах 7.220-7.228 вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость).

7.220 . 7.221 7.222 .

7.223 . 7.224 . 7.225 .

7.226 . 7.227 . 7.228 .

В задачах 7.229-7.234, используя признаки сходимости, исследовать сходимость следующих интегралов:

7.229 . 7.230 . 7.231 .

7.232 . 7.233 . 7.234 .

§4.Некоторые приложения определенного интеграла.

4.1. Геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь фигуры , равна

Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми , и осью , то её площадь равна , где и определяются из уравнений , ( на отрезке ).

Площадь криволинейного сектора , , где - полярные координаты, равна .

В задачах 7.235-7.238 вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными в прямоугольных координатах:

7.235 а) , ; б) , ;

в) , .

7.236 а) , ; б) , ; в) , , , .

7.237 а) , , ;

б) , ; в) , , , , .

7.238 а) , ; б) , ;

в) , , .

7.239 Найти площадь фигуры, ограниченной параболой , касательной к ней в точке и осями координат .

В задачах 7.240-7.243 вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями: а) заданными параметрически;

б) заданными в полярных координатах.

7.240 а) (астроида);

б) , (окружности).

7.241 а) (эллипс) и ;

б) (трилистник).

7.242 а) (циклоида) и ;

б) (кардиоида)

7.243 а) (кардиоида);

б) (лемниската).

7.244 Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой и окружностью ).

7.245 Найти площадь фигуры, ограниченной окружностью и кардиоидой (вне кардиоиды).

Длина дуги плоской кривой , равна

Длина дуги плоской кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , равна .

Длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями , , , , равна:

Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .

В задачах 7.246-7.249 найти длины дуг следующих кривых:

7.246 а) ;

б) (астроида);

в) (кардиоида).

7.247 а) ;

б)

в) (окружность).

7.248 а) ;

б) (циклоида)

в) (спираль Архимеда).

7.249 а) ;

б) ;

в) (гиперболическая спираль).

7.250 На циклоиде найти точку , которая делит длину первой арки циклоиды в отношении , считая от начала координат.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси дуги кривой , , равна .

При параметрическом задании дуги кривой , , , площадь поверхности вычисляется по формулам:

, .

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг полярной оси (оси ) дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением , , равна .

В задачах 7.251-7.253 найти площади поверхностей, образованных вращением кривых вокруг указанной оси.

7.251 а) , вокруг оси ;

б) (циклоида) вокруг оси ;

в) (кардиоида) вокруг полярной оси.

7.252 а) , вокруг оси ;

б) (эвольвента окружности)

вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

7.253 а) , вокруг оси ;

б) вокруг оси ;

в) (окружность) вокруг полярной оси.

Если - площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси , в точке с аппликатой , то объём этого тела равен , где и - аппликаты крайних сечений тела.

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры , равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси плоской фигуры , , равен .

Объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , , равен .

7.254 Вычислить объёмы тел, ограниченных поверхностями:

а) , ; б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

В задачах 7.255-7.260 вычислить объемы тел, полученных вращением плоской фигуры Ф, ограниченной указанными линиями вокруг: а) оси ; б) оси .

7.255 Ф: .

7.256 Ф: . 7.257 Ф: .

7.258 Ф: .

7.259 Ф:

7.260 Ф: , (циклоида).

7.261 Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , , , .

7.262 Найти объём тела, образованного вращением параболического сегмента с основанием и высотой вокруг высоты.

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.

Статические моменты и , моменты инерции и , масса , координаты и центра масс дуги кривой , относительно осей и вычисляются по формулам:

, ,

, , .

При параметрическом задании дуги кривой , , : , ,

, .

Путь , пройденный телом со скоростью за отрезок времени , равен .

Работа переменной силы , действующей вдоль оси на отрезке , равна .

Объём продукции , произведённой за отрезок времени при производительности , равен .

Издержки производства при известной функции издержек и заданном изменении объёма производства равны

7.263 Найти статический момент синусоиды относительно оси Ох.

7.264 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох дуги кривой .

7.265 Найти статический момент и момент инерции полуокружности радиуса а относительно ее диаметра.

7.266 Найти статический момент и момент инерции относительно оси Ох одной арки циклоиды .

7.267 Найти координаты центра масс дуги окружности , расположенной в первой четверти.

7.268 Найти координаты центра масс дуги астроиды , расположенной выше оси Ох.

7.269 Найти массу стержня длины , если линейная плотность стержня меняется по закону (кг/м3), где - расстояние от одного из концов стержня.

7.270 Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найти путь , пройденный телом за от начала движения.

7.271 Вычислить путь, пройденный свободно падающим в пустоте телом за , если известно, что скорость свободного падения в пустоте определяется формулой , где - начальная скорость тела, - ускорение свободного падения.

7.272 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью , без учета сопротивления воздуха равна , где t - протекшее время, g - ускорение свободного падения. На какую максимальную высоту поднимется тело?

7.273 Какую работу надо затратить (в ), чтобы растянуть пружину на , если сила в растягивает её на (Указание: по закону Гука сила прямо пропорциональна растяжению пружины).

7.274 Сила тока, измеряемая в амперах, определяется формулой . Найти количество электричества (в кулонах), протекшее через поперечное сечение проводника за , считая время от начала опыта.

7.275 Найти количество тепла , выделяемое переменным током за время в проводнике с сопротивлением (Указание: по закону Джоуля-Ленца количество тепла, выделяемой постоянным током за время , равно ).

7.276 Сила переменного тока меняется по закону , где -период. Найти среднее значение силы тока за полупериод .

7.277 Найти среднее значение издержек производства некоторой продукции при заданном изменении объёма производства , если функция издержек имеет следующий вид:

а) , ;

б) , .

7.278 Доход от инвестиций в некоторое производство равен нулю в течение первого года, а затем изменяется по закону , где - время в годах. Найти среднее значение дохода от инвестиций в течение первых пяти лет.

7.279 Найти среднее значение издержек производства и объём продукции , при котором издержки, задаваемые функцией , принимают среднее значение.

7.280 Определить объём продукции, произведённой рабочим за указанный промежуток времени рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией : а) за пятый час рабочего дня; б) за первые 3 часа рабочего дня.