Частные производные

Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ().

Производные () называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:

6.22 . 6.23 .

6.24 . 6.25 . 6.26 . 6.27 . 6.28 . 6.29 . 6.30 . 6.31 . 6.32 .

В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:

6.33 . 6.34 .

6.35 Проверить равенство , если

а) ; б) .

6.36 Проверить равенство , если

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если . 6.38 , если . 6.39 ,если . 6.40 ,если .