Дифференциал

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется разность .

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от .

Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .

Функция , обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.

Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,

а для функции - формулы: ,

.

Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .

Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 . 6.42 . 6.43 .

6.44 . 6.45 . 6.46 .

6.47 Найти значение полного дифференциала функции при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции при

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: .

В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.51 Центральный угол сектора увеличился на . На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора , чтобы площадь сектора осталась без изменения?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если увеличится на , увеличится на , уменьшится на .

6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R =2.5 м, высоту Н =4м и толщину стенок l =1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.

6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10 см и высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса , если R увеличить на 2 мм, r увеличить на 3 мм, а h уменьшить на 1 мм?

6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:

а) ; б) .