2015-03-20
821
Определения, пояснения и примеры
В построенной системе имеется два типа условной связи (и, соответственно, два символа для нее): «внутреннее» следование (представленное в объектном языке) – импликация (É), и «внешнее» (относящееся к метаязыку) – отношение логического следования (⊨). Как соотносятся эти два типа условной связи? Об этом говорит теорема дедукции.
Ниже греческими буквами G (гамма), D (дельта) обозначены множества (произвольные) формул. (Например, G={p,r&q}, G={(pºØq)É(qº(r&s)), Øp, pºq}, G={r,svr,Øp, Ør})
| Теорема (о) дедукции Если верно, что G, А⊨В, тогда также верна выводимость G⊨АÉВ |
В других построениях логических теорий – аксиоматических – у теоремы дедукции помимо указанного выше есть еще одно важнейшее значение. Там она значительно облегчает поиск доказательства[17]. Но в описанном табличном построении классической логики высказываний вообще не моделируется (важнейшая) процедура поиска доказательства. Здесь мы можем только для предъявленного (простейшего) рассуждения сказать, следует или нет из посылок заключение. Но одно и то же утверждение можно по-разному обосновывать. Доказательства могут оцениваться как простые, сложные, громоздкие, изящные и т.д.: важно, как мы добрались от посылок к заключению, каким путем, какие понятия и методы использовали. Это «как» табличный метод совершенно не схватывает. Разумеется, это недостаток.
Упражнения
25. Докажите теорему дедукции.
26. Примените теорему дедукции к данным схемам рассуждения максимальное число раз
а) r⊨T
б) p, q⊨T
в) pºØq, qº(r&s), Øp ⊨ rvs
г) pºq, (q&s)É(r&p), Ør ⊨ Øp
| Рефлексивность отношения логического следования Для любой формулы А верно, что А⊨А. Транзитивность отношения логическогоследования Если верно: G, А⊨В и D,В⊨С, тогда G, D, А ⊨С. Монотонность отношения логическогоследования Если верно: G, А⊨В, тогда также верно G, D, А ⊨В. (Логическая правильность (схемы) рассуждения сохраняется при добавлении новых посылок.) |
