В общем случае система или объект может быть описана с помощью дифференциального уравнения.
anyn+…a1y1+a0=bmxm+…b1x`+b0
Решение такого уравнения:
y(t)=yобщ(t)+yч(t)
yобщ(t)-для однородного;
yч(t)-для неоднородного.
Поскольку частное решение отражает вынужденное изменение координаты объекта под воздействием управления, то считается, что частное решение описывает невозмущенное движение. y(t) описывает возмущенное движение и тогда yобщ(t)
будет являться отклонением, т.е.
yобщ(t)=y(t)-yч(t)=x(t)
Возмущением будет являться yобщ(0). Для того чтобы объект был асимптотически устойчивым необходимо, чтобы
Общее решение будет стремиться к нулю в случае, если все действительные корни будут отрицательными, а действительные части комплексных корней меньше нуля. Если имеется хотя бы один корень с положительной действительной частью (находящееся в правой положительной полуоси) или правый корень, то решение и объект будут неустойчивыми.
Если имеются чисто мнимые корни, объект находится на границе устойчивости (возникают незатухающие колебания). Если имеются нулевые корни, в количестве больше 1 – объект неустойчив. Один нулевой – на границе устойчивости (апериодической)
|
|
1. - действительные и разные.
Если p- отрицательные →0
Если хотя бы один положительный – уходит в ∞.
2. корни кратные:
(C1+C2t+…Cmtm-1)epT
если m-одинаковых корней
если p<0 → 0 (при t→ ∞)
если p положительное → ∞ (в зависимости от знака коэффициента).
3. для пары комплексных корней
Ceαtcos(βt+γ)
если α<0 затухающее колебание;
если α>0 расходящееся колебание.
4. Чисто мнимые.
Ccos(βt+γ)
амплитуда со временем не изменяется; C-определяется начальными условиями.
5. Нулевой корень.
1 нулевой корень С;
2 нулевых корня C1t+C2