Если представить характеристическое уравнение в форме Безу
an(p-p1)… (p-pn)=0
И раскрыть скобки, то в случае когда все pi будут иметь отрицательные действительные части или быть отрицательными, то все коэффициенты ai характеристического уравнения будут положительными.
(p-αi-jβi)(p-αi+jβi)-для пары комплексно сопряженных корней
(p-αi-jβi)(p-αi+jβi)=p2-pαi-jpβi+α2i-αip+ jpβi-jβiαi+β2i=p2-2pαi+α2i+β2i
Если α – отрицательны, то все слагаемые положительные.
Т.е. чтобы все корни были мнимыми необходимо, чтобы коэффициенты характеристического уравнения (левой части дифференциального уравнения) были положительными.
Для дифференциального уравнения 2- го порядка включительно это условие является достаточным.