2015-03-20
829
(Бернхард Риман (1826 – 1866) – немецкий математик)
Рассмотрим функцию комплексной переменной 
, определенную на некоторой области и имеющую в какой – либо точке этой области производную 
Стремление к нулю Dz®0 может осуществляться в следующих случаях:
1) 
2) 
В первом случае:
Во втором случае:
Тогда должны выполняться равенства: 
Эти равенства называются условиями Коши – Римана, хотя еще раньше они были получены Эйлером и Даламбером.
Теорема. Если функция имеет производную в точке
z = x + iy, то ее действительные компоненты u и v имеют в точке (х, у) частные производные первого порядка, удовлетворяющие условию Коши – Римана.
Также справедлива и обратная теорема.
На основании этих теорем можно сделать вывод, что из существования производной следует непрерывность функции.
Теорема. Для того, чтобы функция была аналитической на некоторой области необходимо и достаточно, чтобы частные производные первого прядка функций u и v были непрерывны на этой области и выполнялись условия Коши – Римана.
