Каждой задаче ЛП с любым типом ограничений можно поставить в соответствие другую задачу, которая называется двойственной по отношению к первой. Совместное рассмотрение таких пар задач позволяет исследовать влияние изменения переменных системы на значение целевой функции, проводить экономический анализ результатов расчета.
Правила построения двойственной задачи:
1. Если прямая задача была задачей максимума, то двойственная будет задачей минимума, и на оборот;
2. Число переменных двойственной задачи равно числу ограничений прямой, и наоборот;
3. Коэффициенты целевой функции прямой задачи становятся свободными членами ограничений двойственной задачи;
4. Свободные члены ограничений прямой задачи становятся коэффициентами целевой функции двойственной задачи;
5. Матрица ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы ограничений прямой, и наоборот;
6. Взаимно однозначное соответствие между переменными исходной задачи и ограничениями двойственной удовлетворяет следующему положению:
|
|
А) если J-ая переменная неотрицательна в прямой задаче, то J-ое ограничение в двойственной задаче это неравенство типа ; переменным не имеющих ограничений в знаке соответствует ограничение равенство;
Б) если I-ое ограничение прямой задачи неравенство типа , то
I-ая переменная двойственной задачи неотрицательна; ограничениям равенствам отвечает переменная без ограничений в знаке.
Пример: Построить задачу, двойственную к данной:
Перепишем задачу изменяя ограничения типа на ограничения типа . Получим задачу:
Двойственная задача имеет вид:
Вопрос для самоподготовки
1. Когда используется метод искусственного базиса при определении опорного плана?
2. Как организуется симплекс-таблица при решении задачи ЛП методом искусственного базиса?
3. Как определяется, что задача не имеет опорных планов?
4. Двойственная задача - это модель прикладной задачи или ее превращения?
5. Как определить количество переменных у двойной задачи, если известна прямая задача?
6. Как определить знаки двойных переменных?
ЛЕКЦИЯ 6.