Теория определителей и векторной алгебры»

(см.учебно-методическое пособие, автор Ваксман К.Г.)

Контрольная работа №1г содержит 4 задания.

Краткие теоретические сведения.

I. Элементы аналитической геометрии.

1) Прямоугольная декартова система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на которых выбрано направление и масштаб.

		Каждая точка на плоскости имеет две координаты M (x; y).

2) Полярная система координат задаётся полупрямой – полярной осью с выбранным масштабом и направлением

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами:

– расстояние от точки М до полюса, – угол между полярной осью и отрезком ОМ.

Для полярных координат, при выполнении контрольной работы, следует принять следующие интервалы: .

3) Связь между декартовыми и полярными координатами.

II. Прямая линия на плоскости

4) Прямая линия на плоскости может быть задана следующими уравнениями:

а) – уравнение прямой с угловым коэффициентом .

б) – общее уравнение прямой.

в) уравнение прямой, проходящей через заданную точку с угловым коэффициентом ; .

г) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки ,

.

5) Условия параллельности двух прямых :

а) б) .

6) Условия перпендикулярности двух прямых :

а) б) .

III. Теория определителей

1) Матрицей размерности называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из «m» строк и «n» столбцов.

. Если , то матрица называется квадратной.

2) Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое называется определителем матрицы (обозначается или ).

2.1) Определители второго порядка

Матрица . Ее определитель вычисляется так: .

2.2)Определители третьего порядка.

Матрица . Ее определитель .

Минором называется определитель второго порядка, который получается вычеркиванием из определителя i -ой строки и k -ого столбца. Алгебраическое дополнение . Определитель третьего порядка вычисляется как сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения (разложением по строке или столбцу).

Вычислим определитель разложением по первой строке.

.

3) Решение системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.

Вычисляем четыре определителя.

– главный определитель системы и три вспомогательных , которые получаются из главного заменой столбца при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов .

, , .

Правило Крамера:

а) Если , то система имеет единственное решение

б) Если , но хотя бы один из вспомогательных не равен нулю, то система не имеет решений.

в) Если и все определители равны 0, то система имеет бесконечно много решений.

IV. Элементы векторной алгебры

1) Вектор – направленный отрезок, имеет две характеристики – длину и направление. Координаты вектора в декартовой системе координат – его проекции на оси координат.

z

или , где – векторы единичной длины, направленные по осям координат (орты).

			Координаты вектора , где точка начало вектора, а точка конец вектора определяются по формуле

Основные свойства:

,

1. ; 2. , – число.

Длина вектора .

2) Скалярное произведение , где – угол между векторами. . Если , , то .

Условие перпендикулярности векторов .

3)

Векторное произведение . Вектор удовлетворяет трем условиям:

1.

2. – площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

3. Вектор направлен так, что кратчайшее движение от к против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора .

Пусть вектор , , тогда