2015-04-08
391
(см.учебно-методическое пособие, автор Ваксман К.Г.)
Контрольная работа №1г содержит 4 задания.
Краткие теоретические сведения.
I. Элементы аналитической геометрии.
1) Прямоугольная декартова система координат образуется двумя взаимно перпендикулярными прямыми, на которых выбрано направление и масштаб.
 | |||
| |||
2) Полярная система координат задаётся полупрямой – полярной осью с выбранным масштабом и направлением
Положение точки на плоскости определяется двумя координатами:
– расстояние от точки М до полюса, 
– угол между полярной осью и отрезком ОМ.
 |
Для полярных координат, при выполнении контрольной работы, следует принять следующие интервалы: 
.
3) Связь между декартовыми и полярными координатами.
| |||
 | |||
II. Прямая линия на плоскости
4) Прямая линия на плоскости может быть задана следующими уравнениями:
а) 
– уравнение прямой с угловым коэффициентом 
.
б) 
– общее уравнение прямой.
в) уравнение прямой, проходящей через заданную точку 
с угловым коэффициентом ; 
.
г) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 
, 
.
5) Условия параллельности двух прямых 
:
а) 
б) 
.
6) Условия перпендикулярности двух прямых 
:
а) 
б) 
.
III. Теория определителей
1) Матрицей размерности 
называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из «m» строк и «n» столбцов.
. Если 
, то матрица называется квадратной.
2) Каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое называется определителем матрицы (обозначается 
или 
).
2.1) Определители второго порядка
Матрица 
. Ее определитель вычисляется так: 
.
2.2)Определители третьего порядка.
Матрица 
. Ее определитель 
.
Минором 
называется определитель второго порядка, который получается вычеркиванием из определителя 
i -ой строки и k -ого столбца. Алгебраическое дополнение 
. Определитель третьего порядка вычисляется как сумма произведений элементов любой строки (любого столбца) на их алгебраические дополнения (разложением по строке или столбцу).
Вычислим определитель разложением по первой строке.
.
3) Решение системы линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера.
Вычисляем четыре определителя.
– главный определитель системы и три вспомогательных 
, которые получаются из главного заменой столбца при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов 
.
, 
, 
.
Правило Крамера:
а) Если 
, то система имеет единственное решение 
б) Если 
, но хотя бы один из вспомогательных не равен нулю, то система не имеет решений.
в) Если и все определители равны 0, то система имеет бесконечно много решений.
IV. Элементы векторной алгебры
1) Вектор – направленный отрезок, имеет две характеристики – длину и направление. Координаты вектора в декартовой системе координат – его проекции на оси координат.
|
или 
, где 
– векторы единичной длины, направленные по осям координат (орты).
 |
| |||
, где точка 
начало вектора, а точка 
конец вектора определяются по формуле 
Основные свойства:
, 
1. 
; 2. 
, 
– число.
Длина вектора 
.
2) Скалярное произведение 
, где – угол между векторами. 
. Если 
, , то 
.
Условие перпендикулярности векторов 
. 
3)
|
|
Векторное произведение 
. Вектор 
удовлетворяет трем условиям:
1. 
|
2. 
– площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
3. Вектор направлен так, что кратчайшее движение от к против часовой стрелки, если смотреть из конца вектора 
.
Пусть вектор , 
, тогда 
