Контрольная работа № 1д

Тема: «Неопределённые и определённые интегралы»

Краткая теория и формулы:

Контрольная работа содержит три контрольных задания.

Контрольное задание № 1. Вычисление неопределённого интеграла

I. Неопределенный интеграл есть

, где , С – постоянная .

называется первообразной для .

Основные правила интегрирования:

1. Дифференциал функции ; .

2. .

3. (a – число).

4. Если , то .

5. Если , а , то .

6. Метод интегрирования по частям: если , , то .

7. Правильность результатов интегрирования проверяется так: . Взятие неопределённого интеграла есть действие, обратное взятию производной.

Таблица основных неопределённых интегралов

– постоянные числа;

, если , то ;

1. ; ; 1а. ;

2. ; 2а. ;

3. ; 3а. ;

4. ;

5. ; 5а. ;

6. ; 6а. ;

7. ;

8. ; ;

9. ;

10. ; 10а. ;

11. ; 11а. .

12. ;

Формулы 1а, 2а, 3а, 5а, 6а, 10а, 11а получены по правилу 4.

Для взятия неопределённого интеграла, надо преобразовать подынтегральное выражение, воспользоваться правилами, чтобы привести его к табличным интегралам.

Контрольное задание № 2. Вычисление определённых и несобственных интегралов

а) Определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница

,

где – первообразная функции , т. е. .

б) Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Если предел существует, то несобственный интеграл сходится и равен ему, иначе интеграл расходится.

Контрольное задание № 3. Приложение определённого интеграла для вычисления площади плоской фигуры.

Площадь плоской фигуры, ограниченной сверху графиком функции , а снизу – графиком функции при изменении х от а до b равна

.