Интегрирование рациональных дробей

Выражения вида , где а - вещественное, k, l - натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовем простейшими сомножителями.

Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степени n можно разложить в произведение простейших сомножителей:

= (4)

где -число;

Дроби вида , где k, l - натуральные числа,

- простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.

Определение. Дробь называется правильной, если (здесь

m и n степени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно. Если m≥n, дробь называется неправильной.

Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби: .

Можно доказать следующую теорему.

Теорема. Любая правильная рациональная дробь , где многочлен, определённый равенством (4), может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей (m и n — степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе соответственно). Эта сумма строится следующим образом в два этапа:

1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму из слагаемых: ;

2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму из слагаемых:

В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:

(5)

Считая в дальнейшем, что коэффициент при старшей степени у многочлена равен единице, на примерах решения задач покажем, как используется сформулированная теорема на практике.

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби.

Решение: Разложим знаменатель на простейшие сомножители: .

Тогда ;

Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители, то есть .

Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:

.

Решая ее, находим, что

Окончательно положим .

Пример: Разложить дробь на простейшие дроби. Решение: Разложим дробь на простейшие:

Тогда .

Как и в предыдущей задаче, составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:

Отсюда

Следовательно, .

Из разложения (5) следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

Пример: Найти .

Решение: Поскольку рациональная дробь, стоящая под знаком интеграла, является неправильной, то представим ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель).

Тогда .

Разложим дробь на простейшие дроби:

;

Отсюда

Следовательно,

Но тогда:

=