Й случай

В интегралах , где и входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях делается замена . При этом

.

Этой же подстановкой к интегралам от рациональных функций приводятся интегралы вида .

Пример: Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Сделаем подстановку:

; .

Тогда

.

Пример. Найти неопределенный интеграл: .

Решение:

3-й случай. Интегрирование выражений вида

, (6)

где m и n- целые числа. Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m,n есть хотя бы одно нечетное. Тогда за t принимается функция, стоящая в основании другой степени.

Пример. Найти неопределенный интеграл:

.

Решение: Здесь функция стоит в нечетной степени, поэтому

;

б) В выражении (6) оба числа m,n - четные неотрицательные.

Положим m=2p, n=2q и применим формулы:

.

Тогда

Раскрыв скобки, получим сумму интегралов, к каждому из которых применим 1-й или 2-й способы:

.