Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций

Пусть - рациональная функция своихаргументов. Тогда интеграл находится заменой переменных

Как правило, за берется наименьшее общее кратное чисел , где , т.е. r выбирается так, чтобы все корни, стоящие под знаком интеграла, извлекались.

Пример 1. Вычислить неопределенный интеграл .

Решение:

В подынтегральном выражении выделим целую часть: ,

В некоторых случаях проинтегрировать иррациональные выражения помогают тригонометрические подстановки:

1) .

Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки

, .

Пример 2. Найти неопределенный интеграл .

Замена .

Интеграл примет вид:

.

2)

Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки

, .

Пример 3. Найти неопределенный интеграл .

Замена .

Тогда .

Интеграл примет вид:

3) .

Такие выражения рационализируются с помощью следующей подстановки

, .

Пример 4. Найти неопределенный интеграл .

Замена .

Тогда интеграл примет вид:

.