Теорема.
Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на [a,b]. Введем новое переменное формуле x= .
Если 1)
2) и непрерывны на отрезке [t1,t2],
3) определена и непрерывна на отрезке [t1,t2], то , где , . (1)
Доказательство:
Если F(x) есть первообразная для функции f(x),то можем написать следующие равенства:
(2)
(3)
Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по t. Из равенства (2) получаем:
│ .
Из равенства (3) получаем:
│ .
Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые.
Теорема доказана.
Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, возвращаться к старой переменной нет необходимости.
Пример:
= = = = = .