Решение

9 10 11 12 13 14 15

1a). Находимвектор

= .

2а) Находимвектор

= .

3а) Вычисляем скалярное произведениевекторов :

б) Вычисляем векторное произведение векторов :

1в) Покажем, что векторы образуют базис . Для этого составим определитель, столбцами которого являются координаты этих векторов и покажем, что он отличен от нуля.

Так как , то векторы образуют базис и, следовательно, вектор единственным образом можно разложить по векторам этого базиса.

2в) Записываем разложение вектора по векторам базиса :

или .

Коэффициенты разложения , , называют координатами вектора в базисе и записывают: .

3в) Записываем векторное уравнение относительно , , в виде эквивалентной ему системы линейных уравнений: , и находим единственное решение системы, например, по формулам Крамера:

, где

, , , .

Таким образом: , , . Следовательно, разложение имеет вид: или кратко: .

Ответ: .

81-90. Даны вершины треугольника : , , Требуется найти:

а) длину стороны ; б) уравнение стороны ;

в) уравнение медианы , проведённой из вершины ;

г) уравнение высоты , проведённой из вершины ;

д) длину высоты ; е) площадь треугольника . Сделать чертёж.

Решение. Сделаем чертёж:

а) Длинустороны находим как длину вектора :

б) Уравнение стороны находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой:

в) Уравнение медианы находим как уравнение прямой, проходящей через точки и , и записываем его в виде общего уравнения прямой. Неизвестные координаты точки находим как координаты точки, делящей сторону пополам:

; .

Тогда:

г) Уравнение высоты находим как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору , который принимаем за нормальный вектор прямой . Тогда