Кванторы

Когда возникает необходимость выразить какие-либо свойства, общие для целого множества объектов, используют кванторы. В логике предикатов таких кванторов два: ", $.

Квантор общности ". Смысл квантора общности совпадает с выражением естественного языка «для всех». То есть, если имеется некоторое знание, применимое для любого объекта определённого типа, то вместо перечисления всех таких объектов можно использовать квантор общности. Например, тот факт, что для успешной учебы студенту необходимо вовремя получать зачеты можно выразить следующим образом:

" (x) студент (x) Ù вовремя_сдает_зачеты (x) ® успешно_учится (x).

Квантор существования $. Если возникает необходимость выразить знание об отдельном объекте из какой-либо совокупности, используют квантор существования. Квантор существования произносится на естественном языке как «существует». Например, на любом факультете университета учится хотя бы один отличник. Эта фраза на языке предикатов выглядит следующим образом:

" (x) факультет (x) ® $ (y) учится (y, x) Ù отличник (y).

Взаимосвязь между кванторами. Считают, то квантор связывает переменные, которые записываются за знаком квантора в скобках. Поэтому их называют связанными. Переменные же, которые ни один квантор не связывает, называют свободными. Взаимосвязь между кванторами существования и общности можно легко выразить с помощью связки отрицания Ø и она основана на следующем соображении: если про любой объект из совокупности можно сказать, что он не обладает заданным свойством, то не существует объекта, обладающего этим свойством. Например, очевидно, что «у любой лошади нет крыльев, значит, не существует лошади, у которой есть крылья». Обозначим любую переменную символом х, а любую формулу, содержащую эту переменную – Р(х), тогда справедливы следующие законы:

" (х) Ø Р(х) º Ø $ (х) Р(х),

Ø " (х) Р(х) º $ (х) Ø Р(х),

" (х) Р(х) º Ø $ (х) Ø Р(х),

Ø " (х) Ø Р(х) º $ (х) Р(х).