Нахождение собственных чисел и собственных векторов матриц

Теорема 19.1 Собственными числами матрицы являются корни уравнения

и только они.

Доказательство. Пусть столбец -- собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в виде . Так как для единичной матрицы выполнено , то . По свойству матричного умножения и предыдущее равенство принимает вид

(19.4)

Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля, . Тогда у этой матрицы существует обратная . Из равенства (19.4) получим, что , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения .

Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не может совпадать с определителем матрицы и поэтому , -- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными , являющимися элементами матрицы-столбца . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы .

Определитель является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится.

Определение 19.5 Матрица называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .

Пример 19.10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составляем характеристическую матрицу :

Находим характеристический многочлен

Решим характеристическое уравнение

Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :

Находим корни трехчлена . Они равны и 3. Таким образом,

-- корень кратности 2 17.7 b, -- простой корень. Итак, собственные числа матрицы равны , . Найдем соответствующие им собственные векторы.

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса (раздел "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)"). Выписываем расширенную матрицу системы

Первую строку, умноженную на числа и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Меняем местами вторую и третью строки

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальня система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .

Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение

что соответствует системе уравнений

Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу

Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам

Вторую строку умножаем на и прибавляем к третьей

Возвращаемся к системе уравнений

Базисный минор матрицы находится в первых двух столбцах и первых двух строках, ранг равен 2. Поэтому фундаментальная система содержит только одно решение. Переменные и оставляем в левой части, а переменное переносим в правую часть

Полагаем , находим , . Итак, собственному числу соответствует собственный вектор . Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .

Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .