Пример №1. Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида

Сократить дробь .

Решение

Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида

– – – –

1) х³ + 6х² + 11х + 6 х³ + 7х² + 14х + 8

х³ + 7х² + 14х + 8 1

– х² – 3х – 2

– – –

2) х³ + 7х² + 14х + 8 – х² – 3х – 2

х³ + 3х² + 2х – х – 4

– – –

4х² + 12х + 8

4х² + 12х + 8

Следовательно, многочлен (– х² – 3х – 2) является НОД числителя и знамена-теля данной дроби. Результат деления знаменателя на этот многочлен известен. Найдем результат деления числителя.

х³ + 6х² + 11х + 6 – х² – 3х – 2

х³ + 3х² + 2х – х – 3

– – –

3х² + 9х + 6

3х² + 9х + 6

– – –

Таким образом,

.

Ответ: .

2. Возможности упрощения вычислений НОД в алгоритме Евклида

Теорема

При умножении делимого на число не равное нулю частное и остаток умножаются на такое же число.