Замечания. (1) Как мы видим, из плоскости исключена точка O

(1) Как мы видим, из плоскости исключена точка O. Действительно, если точка A совпадает с точкой O, то не определен луч OA, и не ясно каким должно быть число j.

(2) Множество значений функции v волне понятно, так как для любой точки A плоскости E² (кроме точки O) |OA| > 0 и мера угла (l,OA) - это число j такое, что 0 £ j < 2p.

(3) Иногда множество значений функции v рассматривают другое,

например, (0, +¥)´[-p,p).

Существует еще понятие расширенной полярной системы координат, для которой значение r может быть отрицательным.

Определение. Отображение v (*) будем называть полярной системой координат на плоскости.

Определение. Фиксированную точку O будем называть полюсом, фиксированный луч l - полярной осью.

Замечание. Часто под полярной системой координат понимают фиксированную на плоскости структуру (то есть полюс, полярную ось, и полуплоскость, в которую откладываются углы).

Определение. Числа r и j такие, что v (A) = (r, j) будем называть полярными координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j) будем писать A(r,j).

Теорема. Полярная система координат - это биективное отображение.

Доказательство.

1) Инъективность отображения v.

Пусть точки A, B Î E² \ O таковы, что v (A) = v (B) = (r,j) (то есть полярные координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Так как вторые координаты точек A и B совпадают, то углы (l, OA) и (l, OB) равны, тогда лучи OA и OB совпадают (то есть точки A и B лежат на одно луче с началом в точке O).

Так как первые координаты точек A и B совпадают, то |OA| = |OB|.

Итак, точки A и B лежат на одном луче, и удалены на одно и то де расстояние от начала этого луча, значит, они совпадают.

2) Сюрьективность отображения v.

Пусть числа r и j таковы, что r > 0 и 0 £ j < 2p, найдем такую точку A Î E² \ O, что v (A) = (r,j).

Отложим от луча l в полуплоскость a угол (l,m), мера которого равна j.

На луче m от его начала отложим отрезок длины r, конец отрезка отличный от точки O назовем A.

Так как |OA| = r, и угол (l,OA) совпадает с углом (l,m), мера которого j, то v (A) = (r,j).