На плоскости E2 введем дополнительную структуру:
зафиксируем упорядоченную тройку точек, не лежащих на одной прямой: (A1, A2, A3).
Теорема. Для любой точки A плоскости E2 существует однозначно определенный набор (l1, l2, l3) такой, что A = l1A1 +l2A2 +l3A3 и l1 +l2 +l3 = 1.
Доказательство.
1) Существование набора (l1, l2, l3).
1 случай. Прямая AA1 не параллельна прямой A2A3.
Пусть точка B - точка пересечения прямых AA1и A2A3.
Так как точка A лежит на прямой A1B, то существует число m такое, что A = (1-m) A1+ mB.
Так как точка B лежит на прямой A2 A3, то существует число l такое, что B = (1-l) A2+ l A3.
Итак, A = (1-m)A1 + m(1-l)A2 + mlA3.
Пусть l1= 1-m, l2 = m(1-l), l3= ml, тогда A = l1A1 +l2A2 +l3A3 и l1 +l2 +l3 = 1.
2 случай. Прямая AA1 параллельна прямой A2A3.
Если прямая AA2 не параллельна прямой A1A3, то повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A2.
Если прямая AA2 параллельна прямой A1A3, то прямая A A3 не параллельна прямой A2A3, и мы повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A3.
РИС.17 (1,2а,2б)
2) Единственность набора (l1, l2, l3).
В п.1 доказательства был предложен способ нахождения набора (l1, l2, l3), докажем, что этот набор (l1, l2, l3) не зависит от способа его получения.
|
|
Предположим, что нашелся набор (l1’, l2’, l3’) такой, что A = l1’ A1 +l2 ‘A2 +l3 ‘A3 (ð) и l1’ +l2 ‘+l3’ = 1.
Равенство вида (ð) будем понимать с точки зрения декартовых координат точек.
Итак, A = l1’ A1 +l2 ‘A2 +l3 ‘A3 и A = l1A1 +l2A2 +l3A3.
Тогда (l1‘ - l1)A1 + (l2‘ - l2)A2 +(l3‘ - l3)A3= 0.
Докажем, что l1‘= l1, предположим, что это не так, то есть l1‘-l1 ≠ 0.
Тогда . Так как , то получается, что точка A1 делит отрезок [A2A3] в отношении , то есть точка A1 лежит на прямой A2A3, что противоречит выбору точек A1, A2, A3.
Следовательно, наше предположение было не верным и l1‘=l1.
Аналогично доказывается, что l2‘= l2 и l3‘= l3.
Определим отображение b: E2 ® {(l1, l2, l3) | l1, l2, l3Î R, l1 + l2 + l3 = 1} (ðð) по следующей формуле: b (A) = (l1, l2, l3), если A = l1A1 +l2A2 +l3A3.
Определение. Отображение b (ðð) будем назвать барицентрической системой координат на плоскости.
Определение. Упорядоченный набор (l1, l2, l3) такой, что b(A) = (l1, l2, l3) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.
Теорема. Отображение b является биективным отображением.
Доказательство. (провести самостоятельно).