Барицентрическая система координат в пространстве

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную четверку точек, не лежащих в одной плоскости:(A₁, A₂, A₃, A₄).

Теорема. Для любой точки A плоскости E³ существует однозначно определенный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃+ l₄A₄ и l₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1.
Доказательство (???самостоятельно ***).

Определим отображение b: E³ ® { (l₁, l₂, l₃, l₄) | l₁, l₂, l₃, l₄ Î R, ₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1} (°) по следующей формуле: b (A) = (l₁, l₂, l₃, l₄), если A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃ + l₄A₄.

Определение. Отображение b (°) будем назвать барицентрической системой координат в пространстве.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что b(A) = (l₁, l₂, l₃, l₄) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

Примеры применения барицентрической системы координат

Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂.

Тогда для того, чтобы прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = 1.