От направленного отрезка к вектору

Обозначения:

Eⁿ – прямая при n = 1, плоскость при n = 2, пространство при n = 3 (с евклидовой геометрией)

Rⁿ =

Î Rⁿ – упорядоченный столбец n×1

A () – координаты точки A в декартовой системе координат в Eⁿ

Определение. Направленным отрезком в Eⁿ будем назвать отрезок, у которого упорядочены концы (то есть один конец отрезка – первый, другой – второй)

Обозначение направленного отрезка:

A

- направленный отрезок AB, у которого первый конец (начало) – точка A, второй конец (конец) – точка B.

Изображение направленного отрезка : (точка A – начало, точка B - конец) РИС. 19

B

Вырожденный отрезок, у которого оба конца совпадают, будем понимать как направленный отрезок, начало и конец которого совпадают. Например, направленный отрезок

Определение. Длиной направленного отрезка называется расстояние между его началом и концом.

Обозначение: | | - длина направленного отрезка .

Пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w.

Определение. Координаты направленного отрезка в системе координат w – это разность координат конца направленного отрезка и начала.

То есть если A( _a), B( _b), то координаты = ( _b- _a).

Замечание. Вычисление длины направленного отрезка в декартовой системе координат осуществляется по той же формуле, что и расстояние между точками. Если же координаты направленного отрезка уже известны, то квадрат его длины равен сумме квадратов координат этого отрезка.

Наблюдение. Все координаты направленного отрезка, у которого начало и конец совпадают, в любой декартовой системе координат равны нулю. Более того, если все координаты некоторого направленного отрезка в некоторой системе координат равны нулю, то начало и конец этого отрезка совпадают.

Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ.

Определение. Будем говорить, что направленный отрезок равен направленному отрезку , если в системе координат w координаты отрезка равны координатам отрезка .

Обозначение равенства направленных отрезков: = .