Доказательство. Пусть Î Vn, и координаты вектора = ( ), и пусть l Î R

Существование.

Пусть Î Vⁿ, и координаты вектора = (), и пусть l Î R.

Найдем вектор = l .

Возьмем направленный отрезок , где точка O – начало координат, точка B (l ).

Координаты этого направленного отрезка равны = (l ).

Пусть вектор такой, что = .

Тогда по определению = l .

Единственность (в данной системе координат).

Пусть вектор такой, что = l , тогда его координаты по определению _’ = l , то есть _’ = и = .

Лемма (Простейшие свойства умножения вектора на число (в данной системе координат)).

1) Если = l , то | | = | l | | | для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

2) 0 = q для любого вектора Î Vⁿ.

3) lq = q для любого числа l Î R.

4) 1 ´ = для любого вектора Î Vⁿ.

5) (l m) = l (m ) = m (l ) для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R