Прямая в пространстве

Для задания прямой в пространстве одного уравнения недостаточно. Это объясняется тем, что всякое уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую поверхность , а не линию.

Рассмотрим различные виды уравнений прямой в пространстве.

1) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору

Рис. 5.4

(5.9)

Уравнения (5.9) называются каноническими уравнениями прямой.

Уравнения (5.9) получены из следующих соображений.

Если - произвольная точка прямой, то вектор коллинеарен вектору , а значит, их координаты пропорциональны, из чего и следуют уравнения (5.9).

2) Уравнения прямой, проходящей через две точки и .

Рис. 5.5

(5.10)

Уравнения (5.10) также являются каноническими уравнениями прямой, так как числа, стоящие в знаменателях, есть координаты вектора , являющегося направляющим для данной прямой.

3) Параметрические уравнения прямой в пространстве:

где (5.11)

Уравнения (5.11) получаются из канонических уравнений (5.9), если все три отношения в них приравнять к некоторому параметру , а затем выразить и через .

При этом - координаты точки , через которую проходит прямая параллельно направляющему вектору .

Замечание. Если какая–либо координата вектора равна , то равен и знаменатель соответствующей дроби в уравнениях (5.9).

Не следует воспринимать такую дробь как деление на . Если, например, , то уравнения (5.9) примут вид: .

Перейдем к параметрическим уравнениям прямой. Получим

где или

Первое уравнение , означает, что прямая лежит на плоскости , перпендикулярной оси .

4) Общие уравнения прямой в пространстве

(5.12)

Уравнения (5.12) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой могут быть преобразованы к каноническому или параметрическому виду.

5) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями