Плоскость в пространстве

18 19 20 21 22 23 24

Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :

, (5.1)

где - нормаль.

Рис. 5.1

Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если

- произвольная точка плоскости

, то вектор

перпендикулярен нормали

, т.е.

, откуда следует, что

2) Общее уравнение плоскости

, (5.2)

где коэффициенты , , - координаты нормального вектора .

Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .

Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.

3) Уравнение плоскости «в отрезках»

(5.3)

Рис.5.2

где

- величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью

на координатных осях

соответственно. Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа

(если

) в правую часть равенства и делением уравнения на число

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:

. (5.4)

Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если

- произвольная точка плоскости

, то три вектора

лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).

Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).

5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:

. (5.5)

6) Угол между двумя плоскостями.

Пусть даны две плоскости:

с нормалью и

с нормалью .

В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме

. (5.6)

7) Условие параллельности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.7)

Если , то обе плоскости и совпадают.

8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :

или в координатной форме

. (5.8)

9) Неполные уравнения плоскости.

Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.

Рассмотрим различные виды неполных уравнений.

а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);