Плоскость в пространстве можно задать различными способами; соответственно получим различные виды уравнений плоскости.
1) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно нормальному вектору :
, (5.1)
где - нормаль.
Рис. 5.1 | Уравнение (5.1) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то вектор перпендикулярен нормали , т.е. , откуда следует, что . |
2) Общее уравнение плоскости
, (5.2)
где коэффициенты , , - координаты нормального вектора .
Уравнение (5.2) следует из уравнения (5.1), если в нем раскрыть скобки и число обозначить за . Таким образом, плоскость задается уравнением первой степени относительно , и .
Верно и обратное утверждение: всякое уравнение первой степени вида (5.2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость.
3) Уравнение плоскости «в отрезках»
(5.3)
Рис.5.2 | где , и - величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях , и соответственно. Уравнение (5.3) может быть получено из общего уравнения плоскости (5.2) переносом числа (если ) в правую часть равенства и делением уравнения на число . |
4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки , и , не лежащие на одной прямой, может быть записано в виде:
|
|
. (5.4)
Уравнение вида (5.4) получено из следующих соображений. Если - произвольная точка плоскости , то три вектора , , |
лежащие на плоскости , компланарны, а следовательно, их смешанное произведение равно нулю, т.е. . Используя выражение смешанного произведения в координатной форме, получим уравнение (5.4).
Если в уравнении (5.4) раскрыть определитель (лучше всего разложением по первой строке) и привести подобные члены, то получим уравнение вида (5.2).
5) Расстояние от точки до плоскости , заданной общим уравнением вычисляется по формуле:
. (5.5)
6) Угол между двумя плоскостями.
Пусть даны две плоскости:
с нормалью и
с нормалью .
В качестве угла между плоскостями и принимается угол между их нормалями: или в координатной форме
. (5.6)
7) Условие параллельности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.7)
Если , то обе плоскости и совпадают.
8) Условие перпендикулярности двух плоскостей и :
или в координатной форме
. (5.8)
9) Неполные уравнения плоскости.
Общее уравнение плоскости называется полным, если все его коэффициенты , , и отличны от нуля. Если хотя бы один из коэффициентов равнее нулю, то уравнение (5.2) называется неполным.
Рассмотрим различные виды неполных уравнений.
а) Если , то плоскость проходит через начало координат (поскольку координаты удовлетворяют этому уравнению);
|
|
б) Если , то плоскость параллельна оси ;
в) Если , то плоскость параллельна оси ;
г) Если , то плоскость параллельна оси .
Признак параллельности плоскости координатной оси:
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ;
- если в уравнении нет переменной , то плоскость параллельна оси ,
т.е. плоскость параллельна той координатной оси, наименование которой отсутствует в уравнении плоскости.
д) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
е) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
ж) Если , то плоскость параллельна координатной плоскости (так как эта плоскость одновременно параллельна оси и оси );
з) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
и) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат);
к) Если , то уравнение задает координатную плоскость (так как плоскость параллельна плоскости и проходит через начало координат).