Скалярное произведение векторов

Пример 1. Даны точки , , . Найти .

Решение. Определим координаты векторов, входящих в искомое скалярное произведение.

,

,

,

,

,

.

А теперь по формуле (3.23) найдем

.

Пример 2. Найти , если , , .

Решение. Для нахождения скалярного произведения воспользуемся его свойствами. По распределительному закону

.

Упростим равенство с учетом , .

.

Пример 3. Найти угол между векторами и , если и .

Решение. Обозначим вектором .

Найдем длины векторов Определим скалярное произведение по формуле (3.23)

.

Теперь по формуле (3.24)

,

.

Пример 4. Даны векторы , , . Найти .

Решение. Используя формулу (3.26), запишем . Поскольку векторы заданы своими координатами, найдем по формуле (3.12) сумму векторов

Определим величину скалярного произведения по формуле (3.23)

. Подставляем в формулу проекции, имеем

.

Пример 5. Найти координаты вектора , перпендикулярного векторам и , если .

Решение. Обозначим неизвестные координаты вектора . Воспользуемся условием перпендикулярности векторов (3.22).

, откуда ;

, значит .

С учетом , т.е. , получим систему

Условию задачи удовлетворяют два вектора и .