2015-04-12
2919
а) По формуле (3.28) длина вектора векторного произведения: 
.
б) По свойствам векторного произведения найдем
.
Пример 2. Заданы векторы 
и 
. Найти координаты векторов а) 
; б) 
.
Решение. а) Используем формулу (3.31) вычисления координат вектора векторного произведения векторов 
и
б) Сначала определим координаты векторов
Снова используем (3.31)
Пример 3. Определить единичный вектор 
, перпендикулярный каждому из векторов 
, 
, образующий острый угол с осью 
.
Решение. Найдем координаты вектора
. По определению векторного произведения векторов 
перпендикулярен и 
, и 
. Значит 
. Найдем орт вектора 
:
Тогда 
. Выбираем знак +, т.к. в этом случае третья координата вектора положительна, значит, вектор образует острый угол с осью . Значит 
.
Пример 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Решение. Согласно формуле (3.32) 
. Учитывая координатный способ задания векторов, найдем сначала координаты вектора
.
А теперь его модуль
. 
.
Пример 5. В треугольнике с вершинами 
, 
, 
найти длину высоту, опущенной из вершины 
на сторону 
.
Решение. Обозначим 
длину высоты из вершины , тогда 
.
С другой стороны 
, где 
, 
. Определим 
, 
.
Итак, 
. Откуда 
.
Пример 8. Найти координаты вектора 
, если известно, что он перпендикулярен векторам 
и 
, образует с ортом 
тупой угол и 
.
Решение. По условию 
и 
, следовательно 
. Найдем
.
По условию коллинеарности векторов 
. Найдем 
из условия .
, 
, 
,
. Если 
, то 
. Проекция на ось OY равна 
, этот вектор образует с острый угол. При 
образует тупой угол с вектором , что удовлетворяет условию.
