Решение. а) По формуле (3.28) длина вектора векторного произведения

а) По формуле (3.28) длина вектора векторного произведения: .

б) По свойствам векторного произведения найдем

.

Пример 2. Заданы векторы и . Найти координаты векторов а) ; б) .

Решение. а) Используем формулу (3.31) вычисления координат вектора векторного произведения векторов и

б) Сначала определим координаты векторов

Снова используем (3.31)

Пример 3. Определить единичный вектор , перпендикулярный каждому из векторов , , образующий острый угол с осью .

Решение. Найдем координаты вектора

. По определению векторного произведения векторов перпендикулярен и , и . Значит . Найдем орт вектора :

Тогда . Выбираем знак +, т.к. в этом случае третья координата вектора положительна, значит, вектор образует острый угол с осью . Значит .

Пример 4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Решение. Согласно формуле (3.32) . Учитывая координатный способ задания векторов, найдем сначала координаты вектора

.

А теперь его модуль

. .

Пример 5. В треугольнике с вершинами , , найти длину высоту, опущенной из вершины на сторону .

Решение. Обозначим длину высоты из вершины , тогда .

С другой стороны , где , . Определим , .

Итак, . Откуда .

Пример 8. Найти координаты вектора , если известно, что он перпендикулярен векторам и , образует с ортом тупой угол и .

Решение. По условию и , следовательно . Найдем

.

По условию коллинеарности векторов . Найдем из условия .

, , ,

. Если , то . Проекция на ось OY равна , этот вектор образует с острый угол. При образует тупой угол с вектором , что удовлетворяет условию.