Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:

1) По двум катетам (из I первого признака)

2) По катету и острому углу (из II первого признака)

(так как по противолежащему углу однозначно определяется прилежащий)

3) По гипотенузе и острому углу

Доказательство.

В таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, т. е. по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к

ней углам.

Теорема доказана.

4) По гипотенузе и катету

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁, у которых углы C и C₁ — прямые, АВ=А₁В₁, ВС=В₁С₁.

Так как ∠C=∠C₁, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A₁B₁C₁ так, что вершина С совместится с вершиной C₁, а стороны СА и СВ наложатся соответственно на лучи С₁А₁ и С₁В₁. Поскольку СВ=С₁В₁, то вершина B совместится с вершиной В₁.
Но тогда вершины А и А₁ также совместятся.

В самом деле, если предположить, что точка А совместится с некоторой другой точкой А₂ луча С₁А₁, то получим равнобедренный треугольник A₁B₁A₂, в котором углы при основании А₁А₂ не равны (∠А₂— острый, a ∠А₁ тупой как смежный с острым углом B₁A₁C₁). Но это невозможно, поэтому вершины А и А₁ совместятся.