Билет 10. 1. Признаки параллелограмма

1. Признаки параллелограмма:

1) Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Пусть в четырёхугольнике АВСD стороны АD и СB параллельны и равны. Проведём диагональ АС, делящую параллелограмм на два треугольника: АВС и СDА. Эти треугольники равны по первому признаку, значит, их соответствующие углы равны. Тогда углы BAC и DCA равны как внутренние накрест лежащие при пересечении прямых АB и CD секущей АС, значит, АB||CD. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

2) Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС данного четырёхугольника АВСD, делящую его на треугольники АВС и СDА. Эти треугольники равны по третьему признаку, поэтому углы АCВ и СAD равны, значит АВ||CD. Т.к. АВ и СD равны и параллельны, то по первому признаку АВСD – параллелограмм.

3) Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся напополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

.

Аналогично, .

Противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD – параллелограмм.

4) В параллелограмме удвоенная сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей:

Доказательство.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Теорема доказана.

2. Построение треугольника по трём сторонам.

1) Отложить на плоскости отрезок BC=a.

2) Построить окружность с центром в точке B с радиусом c.

3) Построить окружность с центром в точке C

с радиусом b.

4) Отметить точку A – одно из пересечений окружностей.

ABC – требуемый треугольник.