Берiлген базистегi вектор координаталары 2 страница

1 2 3 4 5 6 7

Ұзындығы: (12)

арасындағы бұрышы: (13)

ортогональ болу шарты: (14)

коллинеар болу шарты: (15) формулаларымен анықталады.

Тiк бұрышты базистiк векторлар: болатындықтан: (16) болады.

Егер вектор базистiк векторлар мен сәйкесiнше бұрыштар жасаса, онда: (17)

(18) болады.

Егер векторлар жазықтықта қарастырылса, онда олардың тек екi координатасы болатындықтан, және болады да, жоғарыдағы формулалар төмендегiдей түрге келедi:

; (19)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Тiк бұрышты базисте , векторлар берiлген. Осы векторлардың ұзындықтарын, скаляр көбейтiндiсiн, арасындағы бұрышын, бiрiнiң екiншiсiндегi проекцияларын табыңдар.

Шешуi. Ұзындықты табу формуласы (2) бойынша:

Скаляр көбейту формуласы (21) бойынша:

Векторлар арасындағы бұрышты табу формуласы (23) бойынша:

Ал, (5) формуладан:

2-мысал. Үшбұрыш үшін косинус теоремасының дұрыстығына көз жеткiзiңiздер. В

А С

Шешуi. берiлген (12-сызба). Векорлардың айырмасының формуласы бойынша: Бұл теңдiктiң екi жағын да квадрат-тасақ: бұдан

болып шығады. Бұл үшбұрышқа арналған косинустар теоремасы.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Екi вектордың арасындағы оң бұрыш деп ненi айтады?

2. Вектордың екiншi вектордағы проекциясы деген не?

3. Вектордың осьтегi проекциясы және оның сан шамасы деген не?

4. Координаталары белгiлi вектордың ұзындығын (модулiн) қалай табады?

5. Вектордың бiрлiк векторы (орты) деген не және оны қалай табады?

6. Вектордың берiлген базистегi бағыттаушы косинустары деген не және оны қалай табады?

7. Векторлардың скаляр көбейтiндiсi дегенiмiз не, оның қасиеттерi қандай?

8. Векторлардың арасындағы бұрышты қалай табады?

9. Үш вектордың скаляр көбейтiндiсi деуге болады ма?

10. Векторлардың скаляр кубы деуге болады ма?

11. Векторлардың орогональ болу шарты қалай тұжырымдалады?

12. Векторлардың коллинеар болу шарты қалай тұжырымдалады?

13. Қандай векторлардың скаляр көбейтiндiсi еөлге тең болады?

14. Қандай векторлардың скаляр көбейтiндiсi олардың ұзындықтарының көбейтiндiсiне тең болады?

15. Векторлардың тiк бұрышты базистiк векторлармен жасайтын бұрыштарын жiктейтiн формула қандай?

Жаттығу есептерi

51. Сандар үшін орындалатын төмендегi тұжырымдар мен теңдiктердiң қайсысы векторлар үшін орындалады:

- ab=0 болса, онда a мен b -ның ең болмағанда бiрi нөлге тең болады.

- a,b үшін ab=ba болады.

- Егер ab=cb, болса, онда a=c болады.

- Кез келген a,b,c үшін (a+b)c=ac+bc болады.

- Кез келген a,b,c үшін a(bc)=(ab)c болады.

52. Төмендегi теңдiктер дұрыс па, жоқ па:

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7)

53. Төмендегi теңдiктiң дұрыс, қатесiн ажыратыңдар:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

54. АВСД параллелограмда болсын. Төмендегi теңдiктердiң геометриялық мағынасын анықтаңдар:

1) , 2) , 3) .

55. Мына теңсiздiктi дәлелдеңдер: . Теңдiк қандай жағдайда орындалады?

56. мен өзара перпендикуляр бiрлiк векторлар болса, , векторларының скаляр көбейтiндiсi неге тең?

57. Нөл емес қалай орналасса теңдiгi орындалады?

58. Жазықтықта векторлар берiлген. Төмендегiлердi табыңдар:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) .

59. Кеңiстiкте векторлар берiлген. Төмендегiлердi табыңдар:

1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) .

60. Векторлардың скаляр көбейтiндiсiн табыңдар:

1) , 2) , 3) .

61. Векторлардың скаляр көбейтiндiсiн табыңдар:

13. , 2) , 3) .

62. және векторлардың ортын табыңдар.

63. ұзындығы 13-ке тең вектордың бiрiншi және екiншi координаталары 4 және -12 болса, үшіншi координатасы неге тең?

64. АВСД төртбұрышында . Осы төртбұрыштың диагоналдарының перпендикуляр болатынын дәлелдеңдер.

65. Векторлар арасындағы бұрышты табыңдар:

1) , 2) , 3) .

66. АВС үшбұрышында . Үшбұрыштың iшкi бұрыштарын табыңдар.

67. АВС үшбұрышында . ҮшҮрыштың ауданын табыңдар.

68. векторлар берiлген. Табыңдар:

4) , 2) , 3) .

69. векторлар берiлген. Табыңдар:

1) , 2) , 3) .

70. векторлар берiлген. табыңдар.

71. векторлар берiлген. табыңдар.

72. векторының базистiк векторлармен жасайтын бұрышын табыңдар.

73. векторы базистiк векторлармен 120⁰, 135⁰ бұрыштар жасаса, векторымен қандай бұрыш жасайды?

74. Мына векторлары -ның қандай мәнiнде ортогональ болады?

75. ұзындығы 4-ке тең вектор базистiк векторлармен 60⁰ және 45⁰ бұрыш жасаса, онда оның координаталары неге тең болады?

§4. Векторлардың векторлық көбейтiндiсi

векторының векторына векторлық көбейтiндiсi деп, төмендегi үш шартты қанағаттандыратын векторын айтады:

(1)

4) , , векторлар осы тәртiпте орналасуында оң үштiк жасауы керек.

Векторлық көбейтiндiнi былайша белгiлейдi: немесе .

Векторлардың векторлық көбейтiндiсiнiң төмендегiдей қасиеттерi бар:

(2)

Базистiк векторлар үшін:

(3)

Егер тiк бұрышты () базисте векторлар берiлсе, онда олардың векторлық көбейтiндiсiнiң координаталары:

(4)

формуласымен анықталады.

Векторлардың векторлық көбейтiндiсiнiң ұзындығы қабырғалары көбейткiш векторлардың ұзындығына тең болатын, (яғни сол векторларға салынған) параллелограмның ауданына тең болады:

(5)

Екi вектордың коллинеар болу шарты: =0 (6)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. векторының векторына векторлық көбейтiндiсiн табыңдар.

Шешуi. Көпмүшелiктi көпмүшелiкке көбейту ережесiн пайдаланамыз, бiрақ мұнда орын алмастыру заңының сақталмайтынын, яғни болатынын қатаң есте сақтау керек:

Мұнда болғандықтан, болады.

2-мысал. ұзындықтары болатын және өзара 60⁰ бұрыш жасайтын және векторларының векторлық көбейтiндiсi болатын вектордың ұзындығын табыңдар.

Шешуi. (1) формула бойынша:

3-мысал. векторларының векторлық көбейтiндiсi болатын вектордың координаталарын табыңдар.

Шешуi. ( 4) формула бойынша -ның координаталарын табамыз:

бiрiншi координатасы: екiншi координатасы: үшіншi координатасы: Сонымен, .

4-мысал. Қабырғалары векторларын өрнектейтiн параллелограмның ауданын табыңдар.

Шешуi. вектордың координаталарын табамыз:

Сонымен, .

Сонда параллелограмның ауданы (5) формула бойынша:

кв. өлшем.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсi не болады? Оның анықтамасы қалайша тұжырымдалады?

2. Екi вектордың векторлық көбейтiндiсiнiң қасиеттерi қалайша тұжырымдалады?

3. Базистiк векторлардың векторлық көбейтiндiсi неге тең?

4. Векторлардың векторлық көбейтiндiсiнiң координаталары қалай табылады?

5. Векторлардың векторлық көбейтiндiсiнiң геометриялық мағынасы қандай?

6. Векторлардың векторлық көбейтiндiсi арқылы үшбұрыштың, параллелограмның аудандарын қалай табуға болады?

7. Екi вектордың коллинеар болу шартын векторлық көбейтiндi арқылы қалай өрнектеуге болады?

Жаттығу есептерi

76. Өрнектi ықшамдаңдар:

1) , 2) , 3) .

77. Өрнектi ықшамдаңдар:

1) , 2) , 3) .

78. Теңсiздiктi дәлелдеңдер: .Қандай жағдайда теңдiк орындалады?

79.Теңдiктiң дұрыстығына көз жеткiзiңдер:

· , 2) .

80. Егер берiлсе, онда:

болса, онда болады ма?

болса, онда -ке қысқартып, деуге болады ма?

81. Векторлар мен өзара коллинеар болуы үшін мен қандай шартты қанағаттандыруы керек?

82. Векторлар өзара коллинеар болмаса, онда -ден шығатынын дәлелдеңдер.

83. Мына теңдiктердiң дұрыс, қатесiн ажыратыңдар:

1) 2) 3)

84. саны неге тең?

85. мен өзара перпендикуляр бiрлiк векторлар болса, онда қабырғалары векторлар болатын параллелограмның ауданы неге тең болады?

86. АВСД параллелограмда: және . Параллелограмның ауданын табыңдар.

87. ұзындығы 6 және 10-ға тең векторлар өзара тiк бұрыш жасаса, олардың векторлық көбейтiндiсiнiң ұзындығы неге тең?

88. Егер болса, онда қаншаға тең?

89. Егер болса, неге тең?

90. Егер болса, онда мыналар неге тең:

1) , 2) .

91. Векторлар берiлген. Төмендегi векторлардың координаталарын табыңдар:

1) , 2) , 3) .

92. векторларын табыңдар, егер:

1) , 2) ,

болса.

93. Векторлар берiлген. Табыңдар:

1) , 2) , 3) .

94.Қабырғалары векторларды кескiндейтiн параллелограмның ауданын табыңдар.

95. Векторлар берiлген.Табыңдар:1 , 2 .

96. АВС үшбұрышында . Үшбұрыштың А төбесiнен жүргізілген биiктiгiн табыңдар.

97. Векторлар арасындағы бұрыштың синусын табыңдар.

98. болатын АВС үшбұрышының С төбесiнен жүргізілген биiктiгiн табыңдар.

99. векторларына перпендикуляр болатын және шартын қанағаттандыратын векторын табыңдар.

100. Мына векторларды тiк бұрышты базистiк вектор -ға жiктеңдер: .

§5. Векторлардың аралас көбейтiндiсi

Векторлар берiлсiн. Мұның екеуiн өзара векторлық көбейтiп, одан шыққан векторды үшінсiне скаляр көбейткенде шығатын санды осы үш вектордың векторлық – сколярлық көбейтiндiсi немесе аралас көбейтiндiсi дейдi, оны (1) деп белгiлейдi.