Берiлген базистегi вектор координаталары 3 страница

Егер векторлар тiк бұрышты базисте координаталар арқылы берiлсе, онда оларды аралас көбейтiндiсi. (5) формуламен табылады.

Үш вектордың компланар бояу шарты (6) формуламен, ал векторлар қыры болатын параллепипед көлемi.

(7)

формуламен, ал бiр төбеден шығатын қырлары болатын тетраэдрдiң көлемi. (8) формуламен табылады.

Мысалдар қарастырайық:

1-мысал. Үш вектордың кез-келген екеуi тең болса, онда олардың аралас көбейтiндiсi нөлге тең болатынын дәлелдеңдер.

Шешуi. векторлары берiлсiн. Онда болар едi. Ал, векторлық көбейтiндiсiнiң анықтамасы бойынша болу керек. Сондықтан және векторлардың сколяр көбейтiндiсi нөлге тең болады.

2-мысал. векторларының аралас көбейтiндiсiн табыңдар.

Шешуi. Көпмүшелелiктердi көбейту әдiсiмен және векторлардың векторлық көбейтiндiсi табамыз.

Бұл шыққан векторды үшіншi вектор -ға сколяр көбейтемiз:

3-мысал. векторларының аралас көбейтiндiсiн табыңдар.

Шешуi. Алғашқы екеуiнiң векторлық көбейтiндiсi

сөйтiп Сонымен iздеген көбейтiндi

4-мысал. Тетраэдрдiң бiр төбесiнен шығатын қырлары векторларды кескiндейдi.Тетраэдрдiң көлемiн табыңдар.

Шешуi. Қырлары болатын тетраэдрдiң көлемi (8) формула бойынша

сонымен куб өлшем.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Векторлардың аралас көбейтiндiсi деп ненi айтады?

2. Үш вектордың аралас көбейтiндiсiнiң геометриялық мағынасы қандай?

3. Үш вектордың компланар болу шарты қандай?

4. Үш вектордың аралас көбейтiндiсiнi қандай жағдайда нөлге тең болады?

5. Аралас көбейтудiң негiзгi қасиеттерi қандай?

6. Үшiншi реттi анықтауышты есептеу жолы қандай?

Жаттығу есептерi

101. Үш вектордың екеуi компланар болса, олардың аралас көбейтiндiсiнiң нөлге тең болатынын дәлелдеңдер.

102. Теңсiздiктiң дұрыстығын дәлелдеп теңдiктiң қандай жағдайда орындалатын анықтаңдар.

103. Дұрыстығын дәлелдеңдер.

104. Дұрыстығын дәлелдеңдер.

105. Көбейтiндiнi орындаңдар.

106. Егер болса, онда неге тең.

107. векторларға салынған параллелпипедтегi көлемi неге тең.

108. векторларға салынған параллелпипедтегi көлемi неге тең.

109. Егер өзара перпендикуляр бiрлiк векторлар болса, онда векторларға салынған параллелпипедтегi көлемi неге тең.

110. Қырлары векторлары болатын параллелпипедтегi және жататын табанына түсiрiлген биiктiгi неге тең.

111. Векторлар өзара перпендикуляр бiрлiк векторлар. Мына векторлар компланар болады ма жоқ па?

112. Төмендегi векторлардың компланар болар не болмасын анықтаңдар, егер болса:

113. векторлар бiр төбеден шығатын қырлары болатын тетраэдрдiң көлемi неге тең, егер болса.

114. Векторлардың аралас көбейтiндiсiн табыңдар.

115. Векторлардың аралас көбейтiндiсiн табыңдар.

116. Векторлар компланар ма, жоқ па?

117. Вектордың компланар болатынын не болмайтынын анықтаңдар.

118. берiлген табыңдар

119. ABCD тетраэдрдiң қырлары берiлген. Осы тетраэдрдiң 1) көлемiн, 2) жақтарының аудандарын, 3) тетраэдрдiң А төбеден жүргізілген биiктiктерiн табыңдар.

120. параллелепипед. Қырлары

Параллелепипедтегi 1) көлемiн, 2) жақтарының аудандарын, 3) А төбеден жүргізілген ABCD жағына жүргізілген биiктiктi табыңдар.

II тарау. Координаталар жүйесi

§1. Жазықтықтағы тiкбұрышты декараттық координаталар жүйесi

Жазықтықтағы компланар емес кез-келген екi вектор оның базисi болады.

Жазықтықтың кезкелген о нүктесiнен сол нүктеден шығатын базистiк векторлар -нiң жиынтығын немесе аффиндiк немесе жалпы декарттық координаталар жүйесi дейдi (12-сызба). Егер базистiк векторлар мен бiр-лiк векторлар болса және өзара перпендикуляр болса, онда координаталар жүйесi тiкбұрышты декарттық координаталар жүйесi немесе жәй ғана тiкбұрышты координаталар жүйесi делiнедi (13-сызба).

у у

0

х 0 х

12-сызба 13-сызба

Базистiк векторлар жататын және онымен бағыттас болатын осьтердi сәйкесiнше, абцисса және ордината осьтерi дейдi де х және у арқылы бел-гiлейдi. 0 – координаталары басы делiнедi. Координата өстерi жазықтықты төртке бөледi, оларды ширектер немесе координаталар бұрышы дейдi.

Жазықтықтан нүкте алсақ, онда векторы ол нүктесiн радиус – векторы делiнедi. Нүктемен оның радиус - векторы өзара бiрмәндi болады. Сондықтан вектордың координаталар яғни жiктелудегi базистiк векторлардың, коэфиценттерi нүктенiңде координаталары делiнедi де түрiнде жазылады. Сонда х саны , вектордың -мен, у саны вектордың -мен өлшегендегi Үзындығының шамасы болады. Ол мен бағыттас болғанда оң, қарама қарсы бағытта болғанда терiс болады. Осы сияқты болса у>0 болса у<0 болады. Сөйтiп М нүктенiң координаталары х пен у-тен таңбалары әр ширекте төмендегiдей болады.

ширек
Х	+	-	-	+
У	+	+	-	-

Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде нүктелер берiлсе, онда вектордың координаталары (1) болады

АВ кесiндiсiнiң ұзындығы мына формуламен

(2) табылады.

Егер С(х,у) нүкте АВ кесiндiсi қатынаста бөлетiн болса, яғни болса, онда (3) болады, ал АВ-ның дәл ортасы-ның координаталары (4) формуламен табылады.

, , нүктелерi төбесi болатын АВС үшбұрышының ауданы (5) табылады

Екiншi реттi анықтауыш былайша шешiледi:

(6)

Үшiншi реттi анықтауыш былайша шешiледi:

(7)

Мысалдар қарастырайық.

1-мысал. Тiкбұрышты Оху координаталр жүйесiнде А(5,1), В(2,-3) нүктелер берiлген. Бұл нүктелердiң радиус- векторларын, векторының координаталарын, А және В нүктелерiнiң арақашықтығын және АВ кесiндiсiнiң қақ ортасынының координаталарын табыңдар.

Шешуi. Радиус - вектор координаталары (1) бойынша: ал оның ұзындығы (2) бойынша:

А мен В-ның арақашықтығы (2) бойынша:

. вектор координаталары: АВ кесiндiсiнiң қақ ортасының координаталары

(4) бойынша: .

Сонымен С(3,5;-1).

2-мысал. Тiк бұрышты координаталар жүйесiнде А(1,3), В(2,-3),

С(-6,-4) нүктелер берiлген В нүктеге АС түзуiне қарағанда симетриялы нүктелi табыңдар.

Шешуi. В нүктеге АС-ға қарағанда симетриялы нүкте В₁, болсын.(14-сызба) Онда болуы керек. Сондықтан болады. Егер десек, онда:

14-сызба

Бұлардан: мұны жүйе-дегі бiрiншi теңдеуге қойсақ: сонда: Сонымен,

3-мысал. Тiкбұрышты координаталар жүйесiнде берiлген нүктелердiң бiр түзудiң бойында жататына көз жеткiзiп, А нүктенiң ВС, В нүктенiң АС, С нүктенiң АВ кескiндінi қандай қатынаста бөлетiнiн анықтаңдар.

Шешуi. Егер олар бiр түзудiң бойында жатса, онда олар анықтайтын екi кесiндiнiң ұзындықтарының қосындысы үшіншi кесiндiнiң ұзындығына тең болуы керек. Сондықтан нүктелердегi арақашықтығын табамыз.

; ;

. Демек, АВ+АС=ВС.

Олай болса олар бiр түзудегi бойында жатады және А нүкте ВС-ны iштей, қалғандары сырттай бөледi. Сондықтан: Бұл есептi былайша да шығаруға болады. Егер А,В,С нүктелерi бiр түзуде жатса, онда мен векторлары компланар болады. Ал, болғандықтан олар компланар: және бағытттары қарама-қарсы. Сондықтан А нүктесі В мен С нүк-телерінің арасында жатады. Егер А нүктесі ВС-ны қатынаста бөледi де-сек, онда (3) бойынша. болуы керек. Бұдан: .Ал, болып шығады.

Қайталауға арналған сұрақтар

1. Жазықтықтың базисi деген не?

2. Жазықтықтағы аффиндiк және тiкбұрышты координаталар жүйесi деп ненi айтады?

3. Нүктенiң радиус векторы деген не?

4. Вектордың координаталары деп ненi айтады?

5. Нүкте координаталары деген не, оның әр ширектегi таңбалары қандай болады?

6. Нүктенiң координаталарын қалай табады, координаталары арқылы нүктенi қалай салады?

7. Вектордың координаталары ұштарының координаталары арқылы қалай өрнектеледi?

8. Екi нүкте аралық табу формуласы қандай?

9. Кесiндiнi берiлген қатынаста iштей және сырттай болу деген не?

10. Кесiндiнi берiлген қатынаста болу формуласы қандай?

11. Кесiндiнi қақ тбөлу формуласы қандай?

12. Төбенiң координаталары арқылы үшбұрыштың ауданын қалай табады?

Жаттығу есептерi

121.Жалпы декарттық координаталар жүйесiнде координаталық бұрыш деп алып, нүктелердi салыңдар.

122. Тiкбұрышты координаталар жүйесiнде төмендегі нүктелердi салыңдар.

123.Тiкбұрышыты координаталар жүйесiнде төмендегі нүктелерге координаталар басына қарағандағы сим-метриялы нүктенi салыңдар және ол нүктелердің координаталарын табыңдар.

124.Тiкбұрышты координаталар жүйесiнде нүктелерiндегi 1) абцисса 2) ордината өстерiндегi проекцияларын табыңдар.

125.Тiкбұрышты координаталар жүйесiнде нүктелерiнiң абцисса, ордината өстерiне қарағандағы симметриялы нүктелерiн табыңдар.

126.Тiкбұрышты координаталар жүйесiнде мына нүктелерге 1) координаталар басына, 2) бiрiншi және үшіншi координаталар бұрышының биссектрисасына қарағандағы симметриялы нүктенi табыңдар.

127. А(3,4), В(-4,2), С(-1,-3), D(2,-4) нүктелердiң 1) бiрiншi 2) екiншi коор-динаталар бұрышының биссектрисасындағы проекцияларын табыңдар.

128. Нүктелердiң арақашықтығын табыңдар.

1)А(5,6) мен В(3,-4), 3) А(-3,4) мен D(2,-3)

2) Е(2,-3) мен F(5,2), 4) М(3,2) мен N(15,7)

129. Үш нүктенiң бiр түзу бойында жататын, жатпайтынын ажыратыңдар.

1)А(2,1), В(0,5), С(4,-3); 2)М(-1,0),N(1,-2),К(3,-4); 3)Е(3,-5), F(-2,-7), D(18,1)

130. Төбелері А(1,1), В(2,3), С(5,-1) нүктелерінде болатын үшбұрыштың тiк бұрышты екендігін дәлелдеңдер.

131. Төбелерiнін координаталары (-1,3), (1,2), (0,4) болатын үшбұрыштың сүір бұрышыты екенiн дәлелдеңдер.

132. Төбелерi А(1,1), В(0,2), С(2,-1) болатын үшбұрыштың iшкi бұрыштарын-да доғал бұрыш бар ма?