Математическое описание гидравлических систем

Все уравнения, составляющие модель гидравлической или пневматической системы, могут быть условно объединены в четыре группы:

· уравнения расхода;

· уравнения движения;

· уравнения неразрывности потока;

· уравнения определения величин проходных сечений (как правило, на основе уравнений движения) и нагрузок на исполнительных элементах систем.

Группа уравнений расходов включает в себя следующие зависимости:

1. Уравнение для определения подачи насоса

, (1. 1)

где: - угловая скорость вала насоса, 1/с;

- рабочий объём насоса, /1;

- параметр регулирования насоса; если насос нерегулируемый, то = 1, если насос регулируемый, то = 0…1, если регулируемый и реверсивный, то -1…1;

- расход утечек в насосе, /с.

(1.2)

где: - объёмный КПД насоса при номинальном давлении насоса;

- давление на выходе насоса, Па;

- номинальное давление на выходе насоса, Па;

Примечания. 1. В формуле (1.2) принята линейная зависимость объемного КПД от давления в напорной полости насоса.

2. Единицы измерения рабочего объема и угловой скорости приведены к радиану.

2. Уравнение расхода через гидромотор:

(1. 3)

где - рабочий объём гидромотора, ;

- угловая скорость вала гидромотора, 1/c;

- параметр регулирования гидромотора; для нерегулируемого для регулируемого мотора (для реверсирования направления вращения вала гидромотора с помощью направляющей гидроаппаратуры перекоммутируют полости гидромотора);

- расход утечек гидромотора, определяется аналогично утечкам насоса.

Общее замечание: Приведённые зависимости справедливы для выходных полостей гидромашин (нагнетательной для насоса и сливной для гидромотора). Для учёта баланса расходов в линиях, подключённых к входным полостям (всасывающая для насоса и напорная для гидромотора) в формулах (1.1) и (1.3) значение так как утечки возникают после того, как жидкость попала в гидромашину. Кроме того, при составлении общего баланса расходов довольно трудно точно учесть, куда конкретно направляется расход утечек. Ведь в понятии «утечки», связанном с объемным КПД гидромашины, объединены «перетечки», когда жидкость из полости высокого давления возвращается на вход (в полость низкого давления) и «дренажные утечки», когда жидкость по дренажной линии отводится в гидробак и эта жидкость не участвует в работе силового гидропривода

3. Уравнение расхода через поршневую и штоковую полости гидроцилиндра соответственно:

(1.4)

где: - площадь поршневой и штоковой полости соответственно, м²;

- скорость движения поршня гидроцилиндра, м/с.

Примечание. У гидроцилиндров перетечки между полостями гидроцилиндра малы по сравнению с утечками и перетечками в насосах, гидромоторах и других гидроагрегатах. Объемный КПД исправных гидроцилиндров находится в пределах 0.99…1.0), поэтому перетечками можно пренебречь.

Если же необходимо строгое описание баланса расходов через гидроцилиндр, то используют уравнение расхода перетечек между полостями гидроцилиндра. При этом обычно зазор между уплотнением поршня и гильзой гидроцилиндра принимают эквивалентным линейному дросселю и уравнение перетечек между полостями гидроцилиндра имеет вид:

(1.5)

где: - коэффициент перетечек, м⁵/нс;

- давление в поршневой и штоковой полостях соответственно, Па;

Коэффициент перетечек определяется либо экспериментально, либо по формулам.

Приближенное выражение:

,

здесь: - номинальный расход через поршневую полость (при номинальной скорости перемещения поршня), м³/с;

- номинальный (паспортный) объемный КПД гидроцилиндра;

- перепад давления между полостями гидроцилиндра при номинальной скорости перемещения поршня и номинальной нагрузке на штоке, Па.

Более точный коэффициент перетечек можно найти в специальной литературе применительно к конкретному виду уплотнения и с учетом его состояния (износа), положения уплотнения относительно гильзы цилиндра, текущей величины вязкости масла, а также другие параметры.

4. Уравнение расхода через дроссель:

(1.6)

где: - коэффициент расхода дросселя;

- проходное сечение дросселя, м2;

- плотность рабочей жидкости, кг/м3;

- давление перед дросселем, Па;

- давление после дросселя, Па.

Уравнение (1.6) требует обширных пояснений. Основные пояснения приведены ниже:

· уравнение универсально и с помощью него может быть описан расход практически через любой гидроаппарат (за исключением насоса, гидродвигателей и еще нескольких элементов). Главное - правильно описать величину проходного сечения. Как правило, эта величина зависит от текущего значения координаты запорно-регулирующего элемента гидро-аппарата, которое определяется при решении уравнения движения этого ЗРЭ (см. ниже);

· величина коэффициента расхода при строгом описании не является постоянной. Величина этого коэффициента в общем случае зависит от значения числа Рейнольдса (которое, в свою очередь, зависит от скорости потока, вязкости жидкости, формы проходного сечения и от других факторов), от типа камеры гидроаппарата (вид запорно-регулирующего элемента, тип кромок и другие параметры). В принципе, не существует универсальных зависимостей, определяющих величину коэффициента расхода. Существуют экспериментальные данные для различных типов и исполнений гидроаппаратов и эмпирические формулы для определения μ в каждом конкретном случае. В настоящей работе не рассматриваются вопросы определения величины коэффициента расхода (по большому счету, только этот вопрос может быть предметом отдельной книги). Если разработчик математической модели посчитает, что на фоне прочих (неминуемых!) допущений постоянная величина μ является основным источником погрешности модели, можно рекомендовать наиболее полное исследование в области течения жидкости в гидроаппаратах [Ю.А. Данилов], в котором находятся зависимости для большинства гидроаппаратов или обратиться к соответствующему программному обеспечению;

· под корнем выражения (1.6) находится абсолютная величина разности давлений. Этот искусственный прием нужен для исключения появления под корнем отрицательной величины в случае, когда давление после гидроаппарата больше давления перед ним. Правильный знак расхода обеспечивает функция «Сигнатура» (значение сигнатуры +1 при положительном значении аргумента в скобках или -1 при отрицательном значении аргумента), при этом положительная величина расхода при движении жидкости от входной полости гидроаппарата к выходной полости.

В некоторых случаях выражение (1.6) можно заменить так называемой статической расходно-перепадной характеристикой гидроаппарата. Необходимость в этом возникает в случае, когда трудно правильно описать величину проходного сечения, либо когда величина проходного сечения достаточно велика, а перепад давления мал и возникает явление «метания» расхода, что приводит к ошибкам интегрирования и, как минимум, резкому уменьшению шага интегрирования. Величина расхода через гидроаппарат может быть приближенно определена по выражению:

, (1.7)

где: - номинальный (паспортный) расход через гидроаппарат при номинальном перепаде давления .

Вообще, любое уравнение расхода есть произведение скорости на площадь или угловой скорости на объем, приведенный к угловой величине. Мы рекомендуем студентам всегда проверять размерности используемых ими уравнений. Это избавит от ошибок еще на стадии разработки модели и поможет лучше разобраться в физическом смысле уравнений. Для примера проверим размерность уравнений расхода и больше не будем возвращаться к вопросу размерности уравнений. В уравнении (1.4) все просто, а для уравнения (1.6):

.

Для уравнения (1.1) все аналогично, только величины приведены к угловым единицам (для СИ это радианы, однако часто для наглядности приводят к обороту):

.