Группа уравнений движения

В упрощенном виде уравнение движения представляет собой формулу второго закона Ньютона для поступательного или вращательного движения с детально расписанной правой частью выражения.

5. Уравнение движения поршня гидроцилиндра (возвратно-поступательное движение объекта):

(1.8)

где: - масса, приведенная к поршню гидроцилиндра, кг;

- координата поршня гидроцилиндра, м;

- давление в поршневой и штоковой полостях соответственно, Па;

- площадь поршневой и штоковой полости соответственно, м²;

- коэффициент скоростной нагрузки, нс/м;

R – усилие на штоке гидроцилиндра, Н; знак «+» в уравнении применяется, если нагрузка «попутная»: например, при движении автомобиля под гору груз в кузове становится попутной нагрузкой, а когда в гору – совсем наоборот..;

- реакция левого или правого упора гильзы цилиндра на поршень, Н;

- сила сухого трения между поршнем и гильзой цилиндра, Н.

Коэффициент скоростной нагрузки включает в себя коэффициент вязкого трения между уплотнениями поршня и гильзой гидроцилиндра, зависимость нагрузки на штоке от скорости перемещения штока и другие параметры. В принципе, этот коэффициент является переменной величиной при работе гидросистемы. Для определения используются либо экспериментальные данные, либо одна из нескольких существующих зависимостей. Значение λ во многом определяет величину интенсивности затухания колебаний скорости выходного звена (в нашем случае скорости штока гидроцилиндра) во время переходных процессов (вот случай, когда вредное по сути явление трения демонстрирует свои положительные свойства!).

Расчет величины усилия на штоке гидроцилиндра является, как привило, содержанием отдельной процедуры или подпрограммы. От точности расчета величины часто в значительной степени зависит ценность разрабатываемой модели, хотя это и не является тривиальной задачей. В самом грубом приближении величину принимают постоянной и равной некоторому усредненному значению усилия на штоке со стороны нагрузки. Отметим, что вообще , т.е. кроме постоянной составляющей внешнего усилия (например, вес поднимаемого на гидроподъемнике автомобиля), в величину внешнего усилия могут входить позиционная (зависящая от координаты штока гидроцилиндра) и скоростная нагрузка (со своим коэффициентом, отличным от для гидроцилиндра).

Величину реакции упоров гильзы цилиндра можно рассчитать по формуле:

(1.9)

где: - жесткость соответственно левого и правого упоров (если упоры изготовлены из одного материала и имеют одинаковую форму, то эти величины равны между собой), Н/м;

- координата поршня, м;

- максимальный ход поршня, м.

Величину лучше всего определить экспериментально (хотя это и не простая задача). Приближенно можно найти из выражения:

, (1.10)

где: - площадь контакта поршня и упора, м²;

- суммарная ширина поршня и упора, м;

Е – модуль упругости материала поршня и упора, Па.

Конечно, выражение (1.10) весьма условно. Например, площадь контакта с упором сложно рассчитать хотя бы с позиций, что односторонний гидроцилиндр имеет разные площади контакта слева и справа, не говоря уже о пятне контакта. С другой стороны, «внедрение» поршня в торец среднего по размерам гидроцилиндра всего на 10^-6 м (один микрон) вызывает силу реакции порядка 10⁴..10⁵ Н, что сопоставимо (а иногда и больше из-за инерционных сил) с движущими силами и силами сопротивления в гидроцилиндре. При численном решении задачи это приводит к резкому увеличению производных и, как минимум, ухудшает точность решения и повышает время расчета (при использовании методов с изменяемым шагом интегрирования). Однако отказ от учета сил реакции упора и использования нелинейности «ограничение и упор» ведет к резкому искажению силовой картины привода.

При необходимости более строго подойти к описанию реакций упоров нужно учитывать рассеивание энергии при деформации металла. Львиную долю таких потерь энергии составляет переход в тепло работы внутреннего трения в металле и последующий теплообмен с окружающей средой. Безусловно, учет такого рассеивания энергии – тонкий вопрос и зависит он от множества факторов. Считается, что в первом приближении можно принять, что 3,6% энергии при деформации металлических элементов рассеивается. На практике это означает, что при описании сил деформации (например, усилие возвратной пружины в гидроцилиндре одностороннего действия, сила реакции упоров и т.п.) необходимо вводить дополнительный множитель. Например, в уравнении (1.8) сила будет иметь сомножитель . Конечно, более простая запись «» искажает физический смысл – ведь потери энергии всегда «против» движения!

Сила сухого трения с учетом случая остановки объекта может быть описана выражением [В.Ф. Казмиренко]:

(1.11)

где: - абсолютное значение силы сухого трения страгивания, Н;

- скорость движения объекта (в нашем случае – поршня), м/с;

- движущая сила, Н.

В понятие «движущая сила » входят все силы, вызывающие перемещение поршня. В случае уравнения (1.8) это все силы правой части уравнения, за исключением (абсолютное значение силы трения) и силы скоростного трения (скоростной нагрузки) . Рассмотрим подробнее действие системы (1.11). В начале расчета скорость поршня , а абсолютное значение силы трения может быть больше движущей силы (пока давление не достигнет величины, достаточной для перемещения поршня). В этом случае работает вторая строка системы (1.11) и сила сухого трения (т.е. сила сопротивления перемещению поршня) приравнивается к текущему значению движущей силы. Это искусственное действие делает правую часть уравнения (1.8) нулевой и «не разрешает» поршню перемещаться под действием силы трения. Как только движущая сила «дорастет» до величины силы трения, будет использована третья строка системы (1.11), но знак силы трения зависит от знака движущей силы, т.е. до начала движения (ведь еще ) сила трения уже «против» движущей силы. Наконец, после начала движении действует верхняя строка системы (1.11) и сила трения действует «против» направления движения.

Как отмечается в том же источнике [ВФК], применение выражения (1.11) в случае остановки объекта при решении задачи численными методами не совсем корректно. Некорректность возникает из-за того, что решение системы дифференциальных уравнений ведется с определенным шагом интегрирования и потому строгое выполнение условия невозможно. Предлагается следующая последовательность действий:

а) если выполняется условие (где: - соответственно текущее время и шаг интегрирования), то возможна ситуация остановки объекта, для проверки возникновения этой ситуации необходимо перейти к пункту б);

б) если , то остановки нет и , иначе остановка существует и .

Если в схеме гидроцилиндра предусмотрен пружинный возврат поршня в исходное положение, то правая часть формулы (1.8) дополнится силой реакции пружины (по закону Гука):

, (1.12)

где: - жесткость пружины, Н/м;

- величина предварительного сжатия пружины, т.е. при значении координаты ЗРЭ или поршня пружина сжата на величину (это часто делают для создания начального усилия), м.

Отметим, что сила реакции пружины присутствует в уравнении движения подавляющего большинства запорно-регулирующих элементов (ЗРЭ) различных гидроаппаратов (клапанов, золотниковых распределителей, регуляторов расхода и т.п.). Структура уравнения движения ЗРЭ ничем не отличается от структуры выражения (1.8) (некоторые составляющие правой части могут отсутствовать, например сила сухого трения при рассмотрении движения ЗРЭ шарикового типа предохранительного клапана прямого действия или наоборот, добавится гидродинамическая сила), поэтому эти уравнения мы не рассматриваем.