Уравнения неразрывности потока

Уравнения неразрывности потока являются приложением закона сохранения масс для гидравлики. С другой стороны, обывательское выражение «сколько в трубу поступило жидкости, столько из нее и выльется» справедливо только если рассматривать начальный и конечный моменты работы гид-равлической системы или при условии постоянства давлений в трубопроводах (такое предположение справедливо только для статического расчета системы). Если в системе происходят переходные процессы, которые неизбежно связаны с изменением давления, подача поступающей в трубопровод жидкости отличается от расхода на выходе из трубопровода на величину расхода на деформацию жидкости и стенок трубопровода. Тогда уравнение неразрывности потока в общем виде:

, (1.23)

где: - расход жидкости на входе в трубопровод и на выходе из него соответственно, м³/с;

- расход на компенсацию деформации жидкости и стенок трубопровода, м³/с.

9. Уравнение расхода на компенсацию деформации жидкости и стенок трубопровода:

(1.24)

где: V – объем жидкости в элементе гидросистемы, м³;

E – приведенный модуль упругости элемента гидросистемы, Па;

Р – давление жидкости в элементе гидросистемы, Па.

Поясним суть выражения (1.24). Для этого немного отвлечемся и обратимся к понятию «давление жидкости». По одному из определений это напряженное состояние жидкости. Чем вызвано такое состояние? Вспомним картину в метро: до прихода поезда люди спокойно и без помех подходят к эскалатору; после прихода заполненного поезда люди скапливаются в «воронке» перед эскалатором, который не может принять всех людей сразу, а подошедшие позже пассажиры напирают и потому возникает «давление» (в случае перед эскалатором – давка). Перенеся этот вольный пример в гидравлические системы, можно сказать, что величина давления жидкости зависит от количества жидкости на входе и на выходе. Для случая простого гидропривода, состоящего из насоса и гидроцилиндра, это означает, что если «предложение» жидкости, подаваемой в систему насосом, превышает «спрос» - потребление жидкости полостью гидроцилиндра, то «лишней» жидкости приходится «уплотняться» и давление жидкости повышается. А почему гидроцилиндр потребляет не всю жидкость? Обычно это означает, что имеющегося давления жидкости (величина давления, умноженная на площадь поршня, дает движущую силу поршня) не хватает для преодоления нагрузки на гидроцилиндре. Не рассматривая сейчас вопрос о причине этого явления, отметим главное: величина давления в гидросистеме определяется нагрузкой на привод. Поэтому профессионал никогда не скажет «насос дает давление 15 МПа», так как насос создает давление жидкости в гидросистеме в соответствии с нагрузкой на привод или настройкой регулирующей аппаратуры. Можно говорить лишь о максимально возможном рабочем давлении насоса. Возвращаясь к выражению (1.24), отметим, что величиной определяется количество жидкости, расходуемой на «уплотнение» самой жидкости и заполнение дополнительного объема полости трубопровода, появившегося из-за «раздувания» стенок трубопровода под действием повышающегося давления. В описанном только что случае величина положительна, так как положительна производная давления (приход жидкости в трубопровод превышает расход и давление в системе повышается). Если расход больше прихода, то величина давления уменьшается, величина отрицательная и появляется «дополнительный» расход из сжимающихся полостей и «расслабляющейся» жидкости. Конечно, величины расходов на порядки меньше основных расходов в системе.

Часто для упрощения расчетов непосредственно не вычисляют, а записывают уравнение баланса расходов на участке гидросистемы или сразу дифференциальное уравнение для определения давления на участке гидросистемы (обычно целью учета расходов на деформацию жидкости и стенок трубопроводов как раз и является определение давления). Например, простейшее уравнение баланса расходов в линии между насосом и ГЦ имеет вид:

,

где: - расход жидкости в полость, подключенную к линии насоса, м³/c;

- подача насоса в линию, подключенную к гидроцилиндру, м³/с.

Если к линии между насосом и гидроцилиндром подключен предохранительный клапан и с учетом перетечек между полостями гидроцилиндра уравнение баланса расходов такого участка гидросистемы будет иметь вид:

, (1.25)

где: - расход через предохранительный клапан, м³/c;

- расход перетечек, м³/c.

Переписав выражение (1.25) получают дифференциальное уравнение для определения величины давления в линии между насосом, клапаном и гидроцилиндром:

. (1.26)

Величину называют жесткостью участка гидросистемы. Рассмотрим подробнее это понятие. Фактически величина жесткости определяет скорость изменения давления и, при строгом описании, является переменной величиной. В первую очередь это связано с изменением внутреннего объема полостей гидросистемы, например, при перемещении поршня объем поршневой полости увеличивается и, если подключенный трубопровод короткий и малого диаметра, величина может изменяться в несколько раз. Если считать постоянным (а мы видели, что такое допущение может в несколько раз изменить значение жесткости,- еще один пример условности упрощенного описания), то принимают, что в понятие участка гидросистемы входят внутренний объем трубопровода и половина характерных объемов аппаратов, подключенных к этому трубопроводу. Например, для выражения (1.26):

,

где: - рабочий объем насоса, м³/1;

- внутренний диаметр трубопровода, м;

- длина трубопровода, м;

- диаметр поршня гидроцилиндра, м;

- максимальный ход поршня гидроцилиндра, м.

Значение приведенного модуля упругости тоже величина переменная и зависит от условий изменения давления, температуры, плотности жидкости, от количества газа, растворенного в жидкости и других факторов. Если пренебречь влиянием указанных факторов, то приближенно приведенный модуль упругости при простом (без присоединений) стальном трубопроводе можно рассчитать:

, (1.27)

где: - модуль упругости рабочей жидкости, Па;

- модуль упругости материала трубопровода, Па;

- внутренний диаметр трубопровода, м;

- длина участка трубопровода, м;

- толщина стенки трубопровода, м.

Модуль упругости рабочей жидкости в зависимости от ее типа составляет 1,65·10⁹…2·10⁹ Па, модуль упругости стали порядка 2·10¹¹ Па.

Как видим, величина жесткости участка гидросистемы находится в пределах 10⁸..10¹⁴ , и при малых значения расхода (или небаланса расходов на входе и на выходе участка гидросистемы, что одно и то же) порядка 10^-7..10^-5 м³/с, определяет величину производной давления на участке гидросистемы около 10⁵..10⁷ Па/с (или от одной до ста атмосфер в секунду). Конечно, от скорости изменения давления существенно зависит вид переходного процесса, и мы в очередной раз сталкиваемся с трудностями точного подсчета величины (сейчас речь о жесткости), прямо влияющей на точность моделирования.

В заключение отметим, что описанные зависимости рассматривают участок гидросхемы как систему с сосредоточенными параметрами без учета потерь давления в трубопроводе и гидроаппаратах, волновых процессов в гидролиниях и многих других факторов.

Когда уравнения неразрывности потока и дифференциальные уравнения для определения величины давления будут написаны для всех участков гидросистемы, мы получим замкнутую систему уравнений, моделирующую с той или иной погрешностью работу гидросистемы. Решая эту систему при задании управляющих и возмущающих воздействий получают реакции системы на эти воздействия, анализируют устойчивость системы, показатели качества и другие параметры.