2015-04-01
485
Если ток проводимости будет мал по сравнению с током смещения, мал будет и угол диэлектрических потерь δ. В этом случае формулы для расчета характеристик волны можно упростить. При уменьшении аргумента косинус стремится к единице, а синус и тангенс – к величине угла, выраженной в радианах. С учетом этого из формул (5.7), (5.9), (5.10) и (5.15) получим:
| (5.18) |
| (5.19) |
| (5.20) |
| (5.21) |
Здесь и далее нижним индексом «д» отмечена принадлежность параметра диэлектрику с малыми потерями
Формула для волнового сопротивления останется прежней, за исключением обозначения принадлежности модуля комплексной относительной диэлектрической проницаемости к диэлектрику с малыми потерями.
Вычислим относительную погрешность расчета характеристик электромагнитного поля по приближенным формулам. Она описывается следующим соотношением:
| (5.22) |
| где | А | - величина, рассчитанная по точной формуле; |
| Ап | - величина, рассчитанная по приближенной формуле. |
Подставив в эту формулу выражения для соответствующих характеристик электромагнитного поля, легко получить формулы для вычисления относительных погрешностей. Зависимость относительных погрешностей перечисленных характеристик волны от тангенса угла диэлектрических потерь приведены на рис. 5.1 и в таблице 5.1.
|
|
|
Эти данные позволяют оценить возможность применения приближенных формул при заданной погрешности вычисления. Например, если фазовая скорость должна быть рассчитана с погрешностью не более 0,5 %, приближенные формулы нельзя применять при tg δ > 0.19.
Интерес представляет зависимость относительной погрешности коэффициента затухания потому, что она имеет минимум. Это значит, что имеется величина tg δ, при которой погрешность равна нулю.
|
| Рис. 5.1. Графики зависимости относительных погрешностей расчетов по приближенным формулам от tg δ |
Таблица 5.1.
Относительная погрешность расчетов по приближенным формулам
| tg δ | Δε, % | Δv, % | Δz, % | Δα, % | tg δ | Δε, % | Δv, % | Δz, % | Δα, % |
| 0.10 | 0.00 | 0.12 | 0.00 | 0.04 | 0.33 | 0.35 | 1.13 | 0.17 | 0.26 |
| 0.11 | 0.01 | 0.15 | 0.00 | 0.05 | 0.37 | 0.51 | 1.34 | 0.26 | 0.27 |
| 0.12 | 0.01 | 0.19 | 0.00 | 0.06 | 0.42 | 0.76 | 1.57 | 0.38 | 0.27 |
| 0.14 | 0.01 | 0.23 | 0.01 | 0.07 | 0.46 | 1.11 | 1.81 | 0.56 | 0.23 |
| 0.16 | 0.02 | 0.29 | 0.01 | 0.09 | 0.52 | 1.59 | 2.07 | 0.81 | 0.15 |
| 0.17 | 0.03 | 0.35 | 0.01 | 0.11 | 0.58 | 2.26 | 2.31 | 1.15 | 0.01 |
| 0.19 | 0.04 | 0.43 | 0.02 | 0.13 | 0.65 | 3.17 | 2.53 | 1.62 | 0.23 |
| 0.22 | 0.07 | 0.53 | 0.03 | 0.15 | 0.72 | 4.36 | 2.69 | 2.25 | 0.60 |
| 0.24 | 0.10 | 0.65 | 0.05 | 0.18 | 0.80 | 5.89 | 2.78 | 3.08 | 1.11 |
| 0.27 | 0.15 | 0.78 | 0.08 | 0.21 | 0.90 | 7.81 | 2.75 | 4.15 | 1.81 |
| 0.30 | 0.23 | 0.94 | 0.12 | 0.24 | 1.00 | 10.14 | 2.56 | 5.49 | 2.72 |
Задачу нахождения величины tg δ, при которой погрешность равна нулю, можно решить графически или численно. Численное решение дает Δα = 6.99*10-11 % при tg δ = 0.580696. При этом значении тангенса угла электрических потерь погрешности вычисления коэффициента затухания практически не будет. Правда, погрешности расчета остальных параметров волны будут достаточно велики, 1 – 2%.
|
|
|
