Построение линии пересечения двух плоскостей

Две плоскости всегда пересекаются по прямой. Для построения линии пересечения достаточно найти две точки этой линии или одну точку и направление этой прямой. Рассмотрим несколько случаев пересечения плоскостей.

Пример 1. Две плоскости α и γ пересекаются по прямой MN (рис.60) в пределах чертежа.

Рис.60

(•) М (М₁, М") и (•) N (N₁, N") есть точки пересечения одноименных следов (рис.60).

Пример 2. Пересечение двух плоскостей происходит по горизонтали (или фронтали).

На рис.61, 62 фронтальная проекция лини пересечения совпадает со следом f_0γ, а горизонтальная легко находится как горизонтальная проекция горизонтали в этой плоскости.

Рис.61 Рис.62

Пример 3. В пределах чертежа пересекаются только два горизонтальных следа заданных плоскостей α и β(рис63).

Рис.63

Точку М находим в пересечении горизонтальных следов. Для нахождения точки N возьмем дополнительную вспомогательную горизонтальную плоскость γ. Эта секущая плоскость будет пересекать плоскости α и β по горизонталям. Горизонтальные проекции этих горизонталей в пересечении дадут вторую точку линии пересечения плоскостей α и β - точку N (рис.64).

Рис.64

Пример 4. Одна плоскость задана следами общего положения, вторая плоскость задана двумя пересекающимися прямыми общего положения (рис.65).

Рис.65

1. Проведем вспомогательную плоскость частного положения, например, плоскость горизонтального уровня β ׀׀ π₁ (f_оβ ׀׀х) (рис. 66).

Рис.66

2. Плоскость β пересечет плоскость α по горизонтали h. h'' f_оβ,h' ׀׀ h_оα..

3. Плоскость β пересечет плоскость (а∩b) по прямой (2-3).

4. Прямые h и 2-3 пересекаются в точке M (M' и M''), где M'=h'∩(2'-3'), а M'' f_оβ.

5. Для построения второй общей точки проведем еще одну вспомогательную плоскость γ ׀׀ π1 (fоγ ׀׀ х) (рис.67).

6. Плоскость γ пересечет плоскость α по горизонтали h1: h1'' f_оγ, h1' ׀׀ h_оα.

7. Плоскость γ пересечет плоскость (а∩b) по прямой (5-6).

8. Прямые h1 и 5-6 пересекутся в точке М (М'' и М'), где М'=(5'-6') ∩h1', М'' f_оγ.

9. Соединим одноименные проекции точек М и N и получим проекции линии пересечения (М'N') и (М''N'').

Рис.67

Пример 5. Плоскость Δ АВС частного положения (Δ АВС π₁), плоскость Δ MNK – общего положения (рис.68).

Рис.68

Поскольку Δ АВС π₁, горизонтальная проекция Δ А'В'С' обладает собирающими свойствами, т.е. горизонтальная проекция линии пересечения лежит на горизонтальной проекции Δ А'В'С'.

1. Отметим общие горизонтальные проекции Q' и T' на пересечении горизонтальных проекций треугольников АВС и MNK (рис.69).

2. Фронтальные проекции Q'' и T'' ищем на линиях проекционной связи в Δ M''N''K''.

3. Линия пересечения QT определена QT (Q''T'' и Q'T').

4. Определим видимость плоских фигур, т.к. плоскости считаются непрозрачными. Видимость горизонтальной проекции фигур определять не надо, т.к. Δ АВС проецируется в прямую линию, проекция M'N'K' видима. Определим видимость плоских фигур относительно плоскости проекций π₂. Для этого рассмотрим конкурирующие точки 1 и 2, лежащие на скрещивающихся прямых ВС и МK. Фронтальные проекции 1" и 2" совпадают, а горизонтальная проекция 2' находится перед горизонтальной проекцией 1'. Точка 1'' невидима относительно плоскости проекций π₂. Далее рассуждаем так: точка 2 лежит на Δ АВС, следовательно, фронтальная проекция ΔА''В''С'' видима на π₂ с той стороны, где находятся точки 1'' и 2''. После фронтальной проекции линии пересечения Q" и T" видимость Δ А''В''С'' меняется на противоположную, т.е. он становится невидимым (рис.69).

Рис.69